江苏苏州2024~2025学年高二下册6月期末考试数学试题[含解析]

这是一份江苏苏州2024~2025学年高二下册6月期末考试数学试题[含解析]，共18页。试卷主要包含了本卷共4页，包含单项选择题等内容，欢迎下载使用。
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数在上的平均变化率为（ ）
A. 0.21B. 2.1C. －0.21D. -2.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均变化率的公式计算即可.
【详解】函数在上的平均变化率.
故选:D
2. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】，
则，
所以.
故选：C.
3. 对于满足的任意正整数，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式即可判断.
【详解】易得，
故选：D.
4. 已知a,,则“”是“”的什么条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.
【详解】充分性：，充分性成立；
必要性：当时，成立，但，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.
5. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A. 或1B. 或2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得.
故选：C.
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故选：D.
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较，构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，进而可比较的大小，即可得解.
【详解】因为，
所以，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，即，所以，
则，即，
综上所述，.
故选：A.
8. 已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（ ）
A. 48种B. 60种C. 66种D. 72种
【答案】B
【解析】
【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.
【详解】若甲站在正中间，则共有种排法，
若甲不站正中间，先排甲有种，再排乙有种，最后三人任意排有种，
则共有种排法，
综上，共有种不同排法.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若随机变量，满足经验回归方程，则，的取值呈现正相关
B. 若随机变量，且，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断D.
【详解】对于A，因为随机变量，满足经验回归方程，
所以，的取值呈现负相关，故A错误；
对于B，因为随机变量，且，
所以，故B正确；
对于C，若事件相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率，故D正确.
故选：BCD.
10. 拐点（Inflectin Pint）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数对于区间内任一点都可导，且函数对于区间内任一点都可导，若，使得，且在的两侧的符号相反，则称点为曲线的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（ ）
A. B. ，
C. （，且）D.
【答案】AC
【解析】
【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D需要找到两个拐点即可排除D.
【详解】对于A：，，令得，
当时，，当时，，所以是函数的拐点，故A正确；
对于B：，，，令，方程无解，所以无拐点，故B错误；
对于C：，，令得，
当且时，，当且当时，，
当且时，，当且时，，
，所以是函数唯一拐点，故C正确；
对于D：，，因为，所以在至少有一个零点且为变号零点，
又因为，所以在至少有一个零点且为变号零点所以有拐点但不唯一，故D错误.
故选：AC
11. 已知定义域为的连续函数满足，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递减D. 在上最大值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，即可判断A；由，得，令，则，令，即可判断B；关于求导得，，从而可求出d的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数即可判断CD.
【详解】对于A，令，
则，所以，故A正确；
对于B，由，得，
令，则，
令，则，所以，
令，则，
所以为奇函数，即为奇函数，故B正确；
由，
关于求导得，，
令，
则，
所以（为常数），即，
所以（常数），
因为，
所以，所以，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故C错误；D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：由，得出，是解决本题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 被6除所得的余数为______．
【答案】
【解析】
【分析】把用二项式定理展开，把问题转化为被的余数.
【详解】，
展开式的前项都能被整除，只有最后一项不能被整除，所以问题转化为被的余数，
而，被除的余数为，所以被除的余数为.
故答案为：
13. 已知随机变量，的五组观测数据如下表：
由表中数据通过模型得到经验回归方程为，则实数值为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，则，求出，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.
【详解】令，
则，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于的不等式的解集为且，则的极小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.
【详解】由题意可得，
即，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
共有的极小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为．
（1）求；
（2）记，求值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求；
（2）先令，则，再令，则即可求解.
【小问1详解】
由题意，二项式的通项公式为，
根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得
，即，
解得.
【小问2详解】
由（1）可知，
令，则，
令，则，
则.
16. 已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．
（1）求恰有3次命中10环的概率；
（2）求至多有3次命中10环的概率；
（3）设命中10环的次数为，求随机变量的数学期望和方差．
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；
（2）用对立事件法求概率；
（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.
【小问1详解】
设运动员每次射击命中10环为随机变量，则由题意可知，则恰有3次命中10环的概率即；
【小问2详解】
至多有3次命中10环的概率即；
【小问3详解】
，.
17. 已知函数为奇函数．
（1）设函数，求的值；
（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数为奇函数可得，即可求出，再求出的值即可得解；
（2）先判断函数的单调性，根据函数为奇函数可得，则问题转化为关于的方程，分离参数，再结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，即，所以，
经检验，符合题意，
所以，则，
因为为奇函数，所以，
则，
所以
；
【小问2详解】
，
因为是上的增函数，且恒大于零，
所以在上单调递减，
由，
得，
所以，即，
因为关于的方程有实数根，
所以关于的方程有实数根，
而，
当且仅当，即时取等号，
所以.
18. 某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表．
（1）是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；
（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；
【小问1详解】
零假设:喜好红色或蓝色与性别无关，
因为，
所以，根据独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
【小问2详解】
①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，
标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，
则；
②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
则选取4个箱子的所有情况有
记所选的箱子中有对相邻序号，可得则
所以随机变量的分布列为
因此数学期望.
19. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意可得在上恒成立，则可构造函数，求导后分及讨论其单调性，在时结合零点的存在性定理研究，即可得的具体范围，即可得其最大值；
（3）借助因式分解可将原问题转化为有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令，，可得，两式作差可得，从而将证明转化为证明，借助换元法令，即证，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得，即可得，两式作差即可得证.
【小问1详解】
，，
又，则有，
即曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
由题意可得在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，，故在上单调递增，
则当时，，
当时，，故在上单调递增，
有，符合要求，
当时，由，，
则存在，使，即当时，，
当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，不符合要求，故舍去，
综上所述，，故实数的最大值为；
【小问3详解】
，
由，即有有两个实根，，
令，，
当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去；
当，则时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有，即，
又，
不妨令，则有，
有，令，，即有，
则有，即，
即，则要证，只需证，
即证， 令，即证，
令，，
则恒成立，
故在上单调递减，故，
即有在时恒成立，故得证；
由（2）可知，当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则当时，，即，
由，则、，
故，，
则，，
又，即，即，
即，则有，
整理得，即，即，
即；
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令，，从而将证明转换为证明.
1
2
3
4
5
红色
蓝色
合计
男
20
25
45
女
40
15
55
合计
60
40
100
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3