2025--2026学年江苏苏州大学附属中学高一下册期中检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏苏州大学附属中学高一下册期中检测数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （其中为虚数单位）的实部为（ ）
A. B. 1C. D.
2. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 16B. 4C. -4D. -16
3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. 3C. D.
4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和B. 和2C. 和D. 和2
7. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列表达式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则（其中为虚数单位）的最大值为
D. 若，则
11. 梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为定值8D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数z与都是纯虚数，则__________．
13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，.
（1）求实数的值；
（2）求和夹角的余弦值.
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求的值.
17. 已知，，函数，其中.
（1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围；
（2）若函数的最小正周期为.
①求函数在区间上的单调递增区间；
②解不等式.
18. 已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为．
（1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离；
（2）若，求作业协同区的最小值．
19. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.
（1）求的大小；
（2）设的角平分线交于点.
①求面积的取值范围
②求线段长的取值范围.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （其中为虚数单位）的实部为（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因2+i3−i=2+i3+i3−i3+i=5+5i10=12+12i ，所以该复数的实部为．
2. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 16B. 4C. -4D. -16
答案：B
解析：
思路：根据向量平行的坐标表示可求.
解答过程：，.
故选：B.
3. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. 3C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦定理可求.
解答过程：，
由正弦定理可得即，故，
故选：A.
4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由斜二测画法和余弦定理计算可得.
解答过程：由写二次画法可知，，
在中，由余弦定理，
所以.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可.
解答过程：由题意，因为，所以，
所以.
故选：A.
6. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和B. 和2C. 和D. 和2
答案：C
解析：
思路：利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
解答过程：由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
7. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
答案：A
解析：
思路：由已知可得且，根据已知投影向量可得BAcsBBC=34，进而有，再由即可求得结果．
解答过程：由，故为中点，又O是的外心，
所以，且，
由在上的投影向量BAcsB⋅BCBC=34BC，即BAcsBBC=34，
所以BA⋅BC=BA|BCcsB=34BC|2=12 ，
所以．
8. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：由两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系化简可得，再由两角和的正切公式可得，最后由基本不等式求解即可.
解答过程：由可得：，
即，
所以，
因为，所以，所以，
所以等式两边同时除以，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列表达式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：逆用两角和的余弦公式计算可得A；借助二倍角正切公式计算可得B；逆用两角差的正切公式计算可得C；借助平方差公式与降幂公式计算可得D.
解答过程：对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：
，故D错误.
10. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则（其中为虚数单位）的最大值为
D. 若，则
答案：BC
解析：
思路：设，其中，利用复数的运算法则和几何意义依次对各个选项分析即可.
解答过程：设，其中，
对A：因为z12+z22=a+bi2+c+di2=a2−b2+c2−d2+2ab+cdi=0 ，
故a2+c2=b2+d2ab+cd=0，并不能推出a=b=c=d=0 ，
比如满足该方程组，但、不为，故A错误；
对B：z1z1=a+bia−bi=a2+b2，z2z2=c+dic−di=c2+d2，
由，则，又，，
故，故B正确；
对C：由复数的几何意义可知，表示在复平面上复数所代表的点在单位圆上，
z1−1−i表示在复平面上复数所代表的点到复数所代表的点的距离，
由复数所代表的点到原点距离为，
故复数所代表的点到复数所代表的点的距离的最大值为，
即z1−1−i的最大值为，故C正确；
对D：由，即a−c+b−di=a+c+b+di，
故a−c2+b−d2=a+c2+b+d2，化简得，
而，并不能得到，
比如取，满足前提条件，但，故D错误.
11. 梯形中，，，，与交于点，点是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为定值8D. 若，则的最小值为
答案：ACD
解析：
思路：对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，结合相似性质可得，即可得；对B：借助平面向量线性运算法则计算即可得；对C：设，利用平面向量基本定理结合模长与数量积关系计算即可得；对D：利用平面向量基本定理计算可得，再利用基本不等式中“1”的活用即可得解.
解答过程：对A：由题意可得梯形为等腰梯形，则，
由，可得与相似，由，则，
由，
则
，故，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：设，，则
，
由，则，
则
，故C正确；
对D：由C得，
则
，
则，，有，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数z与都是纯虚数，则__________．
答案：
解析：
思路：设复数，利用复数乘方，结合纯虚数的意义求解即得.
解答过程：设复数，则，
由是纯虚数，得，解得，
所以.
故
13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
答案：##
解析：
思路：结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
解答过程：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为.
14. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，则__________；若线段为的中线，且，，则__________.
答案： ①. ②.
解析：
思路：根据正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及辅助角公式即可求解；由平面向量的线性运算用表示出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解．
解答过程：，
由正弦定理得，，
因为，
所以，
整理得，，
因为，所以，
所以，
所以，即；
因为线段为的中线，所以，
又，，
所以．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，.
（1）求实数的值；
（2）求和夹角的余弦值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）借助数量积公式计算可得，再利用向量垂直性质计算即可得；
（2）借助模长与数量积的关系计算可得、，再利用平面向量夹角公式计算即可得解.
（1）2a−3b⋅2a+b=4a2−4a⋅b−3b2=16−4a⋅b−3=9 ，解得，
由b⊥b+ta，则b⋅b+ta=b2+ta⋅b=1+t=0 ，解得；
（2）由，则，a→+b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→=4+1+2=7 ，
a→−b→2=a→2+b→2−2a→⋅b→=4+1−2=3 ，则，，
故csa+b,b−a=a+b⋅b−aa+b⋅a−b=b2−a2a+b⋅a−b=1−47×3=−217.
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）借助同角三角函数基本关系及两角差的余弦公式计算即可得；
（2）借助同角三角函数基本关系及两角差的正切公式计算即可得.
（1）由，则，
则，
则
；
（2）由，，
则，
则，
，
又，故.
17. 已知，，函数，其中.
（1）若函数在区间有且仅有2个零点，求的取值范围；
（2）若函数的最小正周期为.
①求函数在区间上的单调递增区间；
②解不等式.
答案：（1）
（2）①，；②
解析：
思路：（1）借助数量积坐标公式及三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用三角函数性质计算即可得的取值范围；
（2）①利用函数周期可计算出的值，再求出函数单调递增区间后即可得其在上的单调递增区间；②结合正弦型函数图象解出不等式即可得.
（1）=3sin2ωx+sin2ωx−cs2ωx=3sin2ωx−cs2ωx=2sin2ωx−π6，
当时，，
由函数在区间有且仅有2个零点，
则有，解得；
（2）①由函数的最小正周期为，则，解得，
故，
令，
解得，
即的单调递增区间为，
则函数在区间上的单调递增区间为、5π6,π；
②令fx=2sin2x−π6≥3，则，
则π3+2kπ≤2x−π6≤2π3+2kπk∈Z，
解得π4+kπ≤x≤5π12+kπk∈Z，
即不等式的解集为π4+kπ,5π12+kπk∈Z.
18. 已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为．
（1）若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离；
（2）若，求作业协同区的最小值．
答案：（1）2 （2）当时，取到最小值
解析：
思路：（1）由已知结合正弦定理及三角形面积公式得出的值，即可求解巡检车与检修点的距离；
（2）利用正弦定理及三角形面积公式得出，再结合三角恒等变换和正弦函数的性质即可求解最小值．
（1）因为，则，，
若，则，
在中，由正弦定理，
可得，
在中，由正弦定理，
可得，
则，
由已知得，得，则或，
所以或，
又因为0