2025--2026学年江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 从5本不同期的《意林》和3本不同期的《读者》中任取一本，则不同的取法种数是（ ）
A. 15B. 125C. 8D.
2. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数在处存在导数为3，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
8. 已知正方体棱长为2，为空间中一点．若（），则异面直线和所成角的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 向量，若，则
B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C. 已知向量，，若，则为钝角
D. 任意向量，满足
10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 过点与曲线相切的直线有且只有2条
C. 函数有极小值，无极大值
D. 方程有两个不同的解
11. 已知函数fx=2x2−3xex，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数无最小值
B. 函数有2个极值点
C. 函数有5个零点
D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，向量 ，若，则实数的值为________.
13. 已知函数，则lnf'π−2fπ= __________.
14. 中最大的数字是__________；中最大的数字是__________．（）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知曲线在点处的切线的斜率为1.
（1）求实数a的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
16. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面平面，，，是线段上异于点，的动点.
（1）当是线段的中点时，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知.
（1）证明：函数是上的增函数；
（2）设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证.
18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．

（1）求多面体的体积；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由．
19. 已知函数.
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，记函数，求证：函数有唯一的极大值点，且.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 从5本不同期的《意林》和3本不同期的《读者》中任取一本，则不同的取法种数是（ ）
A. 15B. 125C. 8D.
答案：C
解析：
思路：采用分类加法计数原理求解即可.
解答过程：分两类：
第1类，取《意林》，有5种不同的取法；
第2类，取《读者》，有3种不同的取法．
故共有8种不同的取法．
故选：C
2. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：由向量的线性运算可得结果.
解答过程.
故选：A.
3. 曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先对函数求导，再将切点横坐标代入导函数求出切线斜率，进而求出倾斜角.
解答过程：因为，所以切线斜率，则切线倾斜角为45°.
故选：B.
4. 设函数在处存在导数为3，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
答案：B
解析：
解答过程：因为函数在处存在导数为3，即，
所以.
5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据投影向量的计算方法求解即可.
解答过程：由题可知，，
向量在向量上的投影向量为.
故选.
6. 直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果.
解答过程：以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
∵A2,0,0，，，，∴AN=−2,0,1，BM=1,−1,2，
∴csAN,BM=AN⋅BMAN⋅BM=0 ，即，
与所成的角为.
7. 已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
答案：C
解析：
思路：分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可求解.
解答过程：由题意知对任意恒成立，
所以对任意恒成立.
记，则，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，在时取得极大值，也即最大值.
所以，故a的最小值为.
8. 已知正方体棱长为2，为空间中一点．若（），则异面直线和所成角的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：以为轴建立空间直角坐标系，计算各点的坐标，得到向量的坐标，计算，利用换元法结合二次函数的性质得到范围，对比选项得到答案.
解答过程：如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，故，，，
设直线和所成角为，，
，
当时，，故；
当时，设，则，故,
函数，在上单调递减，故，
，.
综上所述.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 向量，若，则
B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C. 已知向量，，若，则为钝角
D. 任意向量，满足
答案：AB
解析：
思路：根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．
解答过程：对于A，因，，则，A正确；
对于B，因，则＝，即，即A、B、C三点共线，B正确；
对于C，，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，，即，
由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C错误；
对于D，是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 过点与曲线相切的直线有且只有2条
C. 函数有极小值，无极大值
D. 方程有两个不同的解
答案：ABC
解析：
思路：利用导数的几何意义求得切线方程为，可判定A正确；设切点，求得切线方程，将点代入切线方程得到，令，利用导数求得函数的单调性与极值，得出方程有两个实根，可判定B正确；利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，可判定C正确；结合函数的单调性和极值，根据与的图象只有一个交点，可判定D错误.
解答过程：对于A中，由函数，可得，
可得且，即切线的斜率为且过点，
所以切线方程为，即切线方程为，所以A正确；
对于B中，设过点的切线与曲线相切于点，
可得切线方程为，即，
将点代入切线方程，可得，
整理得，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数的极大值，也为最大值为，
当时，；当时，，
所以在上，函数有两个零点，即方程有两个实根，
所以过点与曲线相切的直线有且只有2条，所以B正确；
对于C中，由，令，解得，
当时，，单调减；
当时，，单调增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
所以C正确；
对于D中，由C知函数在上单调递减，在单调递增，
且得极小值为，
又由当时，；当时，，
所以函数与的图象只有一个交点，
即方程有两个不同的解，所D错误.
故选：ABC.
方法提示：方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数无最小值
B. 函数有2个极值点
C. 函数有5个零点
D. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是
答案：BC
解析：
思路：根据导函数分析出函数的单调性，进而得到函数的最值以及极值点，求出选项ABD.再利用换元法，结合的图象求解选项C.
解答过程：由f(x)=(2x2−3x)ex，可得f'(x)=(4x−3)ex+(2x2−3x)ex=ex(2x2+x−3)=ex(2x+3)(x−1) ，易知恒成立；
当​时，，单调递增；当时，，单调递减.
当时，，单调递增，则极大值f(−32)=9e−32>0 ，极小值f(1)=−e