江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

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学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】．
2. 已知车轮旋转的角度（单位：）与时间（单位：s）之间的函数关系为，则车轮开始转动后第时的瞬时角速度（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】据导数的物理意义，瞬时角速度是角度函数的导函数，对求导后代入计算即可得到结果.
【详解】因为，所以 ，
又因为，所以 .
3. 某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为（ ）
A. 35B. 30C. 24D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】将女生人数不少于男生的情况分为3女0男、2女1男两类，分别计算两类选法的组合数后求和，即得总选法种数.
【详解】由题意，选出的3名代表中女生人数不少于男生人数，共包含两类情况：
第一类，选出3名女生、0名男生，共有种不同选法；
第二类，选出2名女生、1名男生，共有种不同选法.
根据分类加法计数原理，总选法有种.
4. 已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A. ．B. ．C. ．D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导确定函数在区间内的极值点，计算极值点及区间端点的函数值，比较得到最值后求和.
【详解】由题意可得，，令，解得和，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在取得极大值，在取得极小值，
因为，，
，，
所以函数在上的最大值，最小值，
所以.
5. 统计某超市连续5年的广告支出费（万元）与销售额（万元）的数据如下：
得出经验回归方程为，则（ ）
A. 与呈负相关关系B. 当时，一定有
C. D. 当时，残差为3
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，由得与呈正相关关系，故A错误，
对于B，由回归方程的性质得当时，不一定有，故B错误，
对于C，由题意得，代入方程中，得到，
而，则，解得，故C正确，
对于D，当时，，残差为，故D错误.
6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设为平面的一个法向量，，
则，即，故可取，
则，因，
则点到平面的距离．
7. 小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（ ）
A. 0.56B. 0.65C. 0.77D. 0.8
【答案】B
【解析】
【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件,
则，
根据全概率公式.
8. 已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，把函数在区间内单调递增转化为导数在区间内恒大于等于零，进而求出的关系，再逐一分析选项，判断不可能取值．
【详解】函数求导得，若在单调递增，
则在恒成立，
令，则，解得，
选项A：，符合条件；
选项B：，符合条件；
选项C：，不符合条件；
选项D：，符合条件．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项分布的期望及性质计算判断AB；利用正态分布的对称性计算判断CD.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，由，得，B错误；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，由，得，D正确.
10. 如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ）

A. B.
C. D. 与平面所成角的正弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】设，，，将问题转化为基向量求解.
【详解】设，，，
由题意知，，则，，，
，
，，
即，选项正确；
，选项错误；
，
，选项错误；
设平面的一个法向量为，则的坐标为，而，
则即即，令，解得，，
所以，
，
，
，
，
设与平面所成角为，
，选项正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则存在极值点
B. 若是增函数，则
C. 曲线是中心对称图形
D. 存在，使得有三个不同的零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断.
【详解】函数的定义域为，
对于A， 当时，，
所以，
所以当时，，当时，，
当时，，所以存在极值点，A正确；
对于B，，
若是增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立，令，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，所以，故B正确；
对于C，，
所以，
所以函数关于点对称，C正确；
对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点，
当时，令，则，等价于，
，
所以方程有两个不同的实数根，
由韦达定理，故，
所以在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为
又是极值点，所以，即，
所以，
令，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点，
即不存在使有三个不同的零点，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解.
【详解】函数，，求导得，，
由曲线与在点处有相同的切线，得，即，
所以.
13. 在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解.
【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线，
根据共面向量定理，存在实数，使得，
将各向量坐标代入，得，
根据向量相等，对应坐标相等，
得，解得.
14. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是______；记第行从左到右第个数为，则______．
【答案】 ①. 120 ②.
【解析】
【分析】通过题意分析出，使用二项式定理与组合数的性质求解.
【详解】第10行从左到右第4个数是；
由题意知，，
令，则，当从1到时，从0到，则，
，由二项式定理，令得，
则，
所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20．
（1）求；
（2）求展开式中第3项与第项的系数的比值；
（3）求展开式中的常数项．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为，
根据题意得， 即，化简得，
解得（不符合正整数要求，舍去）.
【小问2详解】
由（1）得，二项式的展开式通项为：，
第3项对应，系数为；第项对应，系数为，
由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为.
【小问3详解】
令展开式通项中x的指数为0，即，解得，
代入通项得常数项为：.
16. 江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？
附：．
（2）为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额的分布列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）．
【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联；
（2）
数学期望约为28.
【解析】
【分析】（1）提出零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设得出结论；
（2）先根据分层抽样规则确定抽取的男、女人数，再确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布列，最后代入期望公式计算期望.
【小问1详解】
提出零假设 ：“愿意购票到场观赛” 与性别无关联,
由列联表得：，
代入卡方公式,
小概率值 对应的临界值为 ，
因 ，故拒绝 ,
结论：依据 的独立性检验，能认为 “愿意购票到场观赛” 与性别有关联;
【小问2详解】
分层抽样抽样比：,
抽取女性人数：，抽取男性人数：,
补贴金额 的可能取值：,
抽取2人都是男性时，，
抽取1 男 1 女时，
抽取2 人都是女性时，
所以 的分布列
，
数学期望约为 .
17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），．
（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
所以，，
又，所以．
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，，从而得到，，，的坐标，进而计算即可证明；
（2）结合（1），先求出三棱锥的体积取得最大值时的值，从而分别求出平面与平面的法向量，进而根据向量的夹角公式即可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
结合（1）设，，则，
由，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值．
所以结合（1）的空间直角坐标系有，，，，，
则 ，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即可得，
记平面与平面的夹角，
则有，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 已知函数，（）．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若存在极小值点，证明：；
（3）若对任意，都有，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减
（2）由，
令，解得，或，
当时，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时是的极小值点，而是的极大值点；
则，所以，得证；
当时，，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时无极值点，更无极小值点；
当时，，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
此时是的极小值点，而是的极大值点；
则，所以，得证．
综上，当时，若存在极小值点，必有，得证．
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，求导，再结合导数的符号即可得到的单调区间；
（2）先求，再令，求出，或，再分，，三种情况讨论的极小值点，再证是否大于即可证明；
（3）分和两种情况，再结合参数分离，构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值即可求解．
【小问1详解】
当时，，
则，
令，解得，或，
当时，，，则，所以在上单调递减；
当时，，，则，所以在上单调递增；
当时，，，则，所以在上单调递减，
综上，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
对任意，有，即，
当时，恒成立，此时的取值范围为，
当时，，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增，
所以，即，
综上，当时，；当时，．
故对任意，都有时，的取值范围为．
19. 某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类—机器人”挑战赛，规则如下：人类选派名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果．所有场次比赛结束后，若人类总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜．已知单场比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为，所有场次的比赛结果相互独立．
（1）若，，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）若，记事件“在前场比赛中人类胜了场”，事件“人类队获胜”．
①求，（用含的式子表示，无需书写推导过程）；
②研究表明：随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．请从数学角度证明上述观点．
【答案】（1）

（2）①，；
②设在场中人类至少胜场，
人类在场中获胜，需要最终胜场数至少为，
按前场的胜数分类:
若，则无论后两场结果如何，人类已获胜；
若，则后两场至少胜场，概率为，
若，则后两场必须全胜，概率为，
若，即使后两场全胜，人类不可能获胜，
所以，
又，
两式相减
，
又因为，
所以，
由于，所以，且，
故，即，
所以随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．
【解析】
【分析】（1）判断随机变量可能的取值，求出对应的概率，求出分布列与数学期望；
（2）根据比赛规则，限定已完成比赛的胜负情况，基于剩余未比赛场次，结合独立试验概率公式进行计算；
（3）求出在场中人类至少胜场的概率，按前场的胜数分类（按，，，分四类）求出，利用作差法比较大小，进而证明结果.
【小问1详解】
时，比赛场次为场，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
；
【小问2详解】
①总共比赛场，已比，还需再比场，
表示“在前场比赛中人类胜了场”，
人类要获胜，则要胜场数，即剩余两场均要胜利，
所以，
表示“在前场比赛中人类胜了场”，
人类要获胜，则要胜场数，即剩余两场至少胜一场，
所以；
②略广告支出费
1
2
4
6
7
销售额
20
30
m
43
46
愿意购票到场观赛
不愿购票到场观赛
合计
女性
25
25
50
男性
40
10
50
合计
65
35
100
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20
30
40
20
30
40