2025--2026学年湖南省邵阳市第二中学等校高一下册5月期中检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省邵阳市第二中学等校高一下册5月期中检测数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（ ）
①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面.
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（ ）
A. 2kmB. 3kmC. 4kmD. 5km
5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
7. 已知复数z满足，且，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. D.
8. 如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 若复数，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 有3个实数根
C. 若有8个实数根，则
D. 若有4个实数根，从小到大分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______.
13. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______.
14. 已知是单位圆的内接三角形，取sinA，sinB，sinC为边长构成新的，若的内角A，B，C满足，求内切圆半径的最大值______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位后得到函数，，求，的值域.
16. 在△ABC中，已知.设，若，且＝0.
（1）求的值；
（2）设不同于点A的点E满足，且，求实数的值.
17. 已知定义在上的函数不恒为0，且.
（1）求的值，并判断的奇偶性.
（2）对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围.
18. 如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且.
（1）求b边的长度；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值.
19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足.
（1）比较和的大小；
（2）当时，
（i）证明：；
（ii）判断的符号.
数学
（本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用集合交集运算即可.
解答过程：因为，所以，
.
2. 下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（ ）
①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面.
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
思路：利用长方体的定义即可判断①；由非正棱台的侧棱不一定相等可判断②；根据多面体的性质即可判断③.
解答过程：对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱；
因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱是特殊的长方体，①说法正确；
对于②棱台是由棱锥用平行于底面的平面截取而来，只有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误；
对于③面数最小的多面体是三棱锥（四面体）它有4个面，所以多面体至少有4个面，这个说法正确.
3. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先利用正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理求出角，代入三角形面积公式求解即可.
解答过程：由正弦定理得，即，解得，
因为，则，所以，
因此，
所以的面积为.
4. 某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（ ）
A. 2kmB. 3kmC. 4kmD. 5km
答案：C
解析：
解答过程：由题意设，仓库到车站的距离x＞0，
当x＝2，，由于，即，
所以两项费用之和为，
当且仅当，即x＝4时等号成立，
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km.
5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果.
解答过程：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，
如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2，
则上下底面对角线的长度为2和4，
所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
答案：B
解析：
思路：根据最小正周期公式及条件，可得的表达式，根据x的范围，可得，根据存在零点，可得的范围，即可得答案.
解答过程：函数，设函数的最小正周期为T，
由可得，（），
所以，即，
又函数在上存在零点，
且当时，，所以≥，解得，
综上，的最小值为4.
7. 已知复数z满足，且，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. D.
答案：C
解析：
思路：设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果.
解答过程：设，，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动，
如图所示即在线段，上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
8. 如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案.
解答过程：法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系，
则，设，
所以，则，
又，
则有，
令，，则，
左右同时平方得，
则，整理得，
所以，又，所以，
则，即，
解得，或（舍去），
又，且，
所以，即，
综上所述.
法二：设，则∠BCP＝，
∵正方形ABCD的边长为2，，
∴.
∴，
∵，则，
∴，
∴.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 若复数，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：CD
解析：
思路：利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的运算以及复数的概念可判断C选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断D选项.
解答过程：由题意，
对于A：，故A错误；
对于B：的共轭复数为，故B错误；
对于C：为实数，故C正确；
对于D：，故复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确.
10. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用诱导公式，两角和的余弦公式化简后，再结合商数关系求解判断A，利用诱导公式与两角和的正切公式变形判断B，确定与的大小关系，结合三角形内角和判断C，由边角关系判断D.
解答过程：对于A：由题意，所以，所以，
所以，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，
所以＝，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，同号，三角形中最多有一个钝角，因此不可能同时为负，
所以，所以，所以，所以，
由，可得，所以，
所以，所以，故C错误；
对于D：由选项C可知，可得，故D正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 有3个实数根
C. 若有8个实数根，则
D. 若有4个实数根，从小到大分别为，则
答案：ACD
解析：
思路：直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D.
解答过程：对于A，由题意，，故A正确；
对于B，当时，由，可得，
解得，因，故得；
当时，由可得，或，
解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误；
对于C，设，则方程，即，
由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，
且，，设，
依题意，需使，
解得，故C正确；
对于D，作出函数的图象，由时，≤5，
且，可知当时，直线与函数有两个交点；
又由时，，
当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，，
由图知，，
则，解得＝4，又由解得，
由解得x＝1，则有，于是，
因函数在单调递减，故，
则，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______.
答案：
解析：
思路：根据投影向量计算即可.
解答过程：在上的投影向量的模为.
13. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______.
答案：
解析：
思路：根据斜二测画法的规则进行计算即可.
解答过程：过点C'作轴交轴于点，如下图所示：
设正三角形的边长为，则，解得，
在中，，
，
由正弦定理，
即，可得，
因此，顶点对应的点到轴的距离是.
14. 已知是单位圆的内接三角形，取sinA，sinB，sinC为边长构成新的，若的内角A，B，C满足，求内切圆半径的最大值______.
答案：
解析：
思路：法一：由正弦定理可得，，，设的三边分别为：，，，利用余弦定理可得，令，其中，利用三角形的面积与内切圆半径的关系可得，求解即可.法二：与法一类似可得，利用基本不等式可得，利用三角形的面积与内切圆半径的关系可得，求解即可.
解答过程：法一：应用正弦定理，
所以，，，
设的三边分别为：，，，
则，，，
所以与相似，且相似比为.
由，得，
即，所以，又，则.
所以，
所以的面积：，
的半周长：，由于，
令，其中，
化简得：，
，
代入内切圆半径的表达式：，
因为，所以.
当（即，此时，为等边三角形）时，取得最大值.
法二：应用正弦定理，
所以，，，
设的三边分别为：，，，
则，，，
又由，得，
即，所以，
所以，又，则.
所以，所以，
所以，
∴，∴，∴，
当且仅当时取等号，又，∴，
∴内切圆半径，
∴当时，取到最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位后得到函数，，求，的值域.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）令，解不等式求解即可；
（2）根据图象的平移可得，化简可得，利用整体法即可求解在上的值域.
（1）∵，由，
得.
∴的单调递增区间为
（2）的图象向右平移个单位，得

因为，所以，所以，
∴函数的值域为
16. 在△ABC中，已知.设，若，且＝0.
（1）求的值；
（2）设不同于点A的点E满足，且，求实数的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用基底向量法结合数量积的运算律，或建立坐标系，或利用余弦定理解三角形可得；
（2）对应（1）的三种方法，结合向量垂直的表示方法，可求得实数的值，特别注意，点E不同于点A，所以.
（1）解法一：基底向量法
因为，所以D分所成比为2：1（靠近C）.
所以.
，
又，且，
所以，.
解法二：坐标法.
由，得，即.
以A为原点建如图所示平面直角坐标系，则，.
∵，设，则，
∴.
∴
解法三：平面几何＋解三角形法.
由，得，即.
∵，∴，
∴，.
∴，
∴.
（2）由，
得，，
所以
解得或.
当时，点E与A重合，舍去，
当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件.
综上，.
方法二：坐标法
设，则，，
∵，∴.
∴，
∴，
∴，
解得或.
当时，点E与A重合，舍去，
当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件.
综上，.
方法三：
由（1）知，.
∴，
∴.
又，
∴E在以为直径的圆上.
不妨设圆心为P，∵，
∴，∴
.
17. 已知定义在上的函数不恒为0，且.
（1）求的值，并判断的奇偶性.
（2）对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围.
答案：（1），奇函数
（2）解析：
思路：（1）令得，再令得即可判断；
（2）先求出、的解析式，令，结合飘带函数、对勾函数的性质，通过单调性判断.
（1）由，
令，有，得，
令，则，
因为不恒为0，定义域为，所以，
则在上为奇函数.
（2）因为，所以，
所以，
因为函数图象上不存在两点P，Q，使得PQ轴.
所以函数在定义域上严格单调，
下面讨论单调性：令，则t在上是增函数，且t＞0.
令，
①当，即或时，
若，在上单调递减，
则在上单调递减，符合；
若，在上单调递增，
则在上单调递增，符合；
②若时，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
不符合题意；
综上：a的取值范围为
18. 如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且.
（1）求b边的长度；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值.
答案：（1）4 （2）
（3）1
解析：
思路：（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，然后由已知条件求解；
（2）利用平方后转化为数量积运算求得，再转化为正弦，然后由三角形面积公式计算；
（3）设，，用两种方法表示出（为基底），由向量基本定理得出关系，从而把用表示，由已知确定出范围，然后由三角形面积公式求得三角形面积，结合基本不等式得最小值，确定的值，然后根据数量积的定义求解.
（1）∵.
由正弦定理：，
由余弦定理：，
∵，∴.
（2）由（1）得，
∵D为中点，∴，设 ，
∴，
解得，易得，∴的面积为.
（3）设，，
∵E，F，G共线，∴可设，则，
又，
由平面向量基本定理得，∴，
由与，
则
∴当且仅当，即时取等，此时，，
∴，即与方向相同.
∴ .
19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足.
（1）比较和的大小；
（2）当时，
（i）证明：；
（ii）判断的符号.
答案：（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
解析：
思路：（1）由题意得出，分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性得出，即可得出和的大小；
（2）（i）由已知可得，
方法一：讨论与的大小，结合对数函数的单调性分析即可；
方法二：设，则，分析可知函数在上为增函数，再构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可知在存在唯一的零点，可得出，即可得出，即可证得结论成立；
方法三：等式两边除以可得，即，构造，分析函数在上的单调性，可得出，由（1）可知、，进而得出；
（ii）由题意得出，只需比较与、的大小，构造函数，则，利用零点存在定理可得出，再由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大，可得出，化简得出关于的不等式，解得，即可得出结论.
（1）由题意得：，，则，所以，
当时，则在定义域内单调递减，解得，所以；
当时，则在定义域内单调递增，解得，所以.
综上所述，，即，即.
（2）（i）当时，则，
（方法一）①假设，则，即，
由，且，所以，则，
所以，与已知矛盾，故假设不成立；
②假设，则，即，
由，且＞0，所以，则，
所以，与已知矛盾，假设不成立；
③当，则，可得，符合题意；
由①②③可得.
（方法二）设，则是的零点，
对、，且，因为在单调递增，
则，，，
可得，，即，
故在单调递增，所以函数有唯一的零点，
设，对、，且，
因为都在单调递增，则，，
可得，即，故在单调递增，
且，，
故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点，
则满足，即，可得，即，
故，即，
所以的零点即为的零点，所以，即.
（方法三）等式两边除以可得，
变形得：，
构造，对、，且，
因为、都在单调递增，则，，
可得，即，
故在上单调递增，且，
由（1）可知：当时，则，所以，，所以.
（ii），
由（1）可知，故只需比较与、的大小，
设，对、，且，
因为、都在单调递增，则，，
可得，即，故在单调递增，
因为，且，即，所以，
由（i）得，则，故；
由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大，
所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率，
即，化简得，所以，
解得或（舍去），
.