2025--2026学年湖南省衡阳市耒阳市第二中学高二下册5月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省衡阳市耒阳市第二中学高二下册5月期中数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ）
A. 2B. C. D.
4. 已知向量，，，若，则实数的值（ ）
A. B. C. D. 2
5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ）
A. 8B. C. 16D.
7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ）
参考数据：若，则，0.9973．
A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2
B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3
C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为
10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ）
A. B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，若，，则______．
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________.
14. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）若，求的前项和．
16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
（1）求的方程；
（2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点.
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为．
（1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率．
（2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和．
（i）求的分布列；
（ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围．
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有实根，求的取值范围；
（3）若函数有个极值点、，证明： ．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：．
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先用一元二次不等式及分式不等式的解法求解两个集合，然后再求交集.
解答过程：因为集合，
所以可得，
因此．
3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距.
解答过程：，，又，
所以处的切线为，
令，可得，
故函数的图象在处的切线在轴上的截距为.
4. 已知向量，，，若，则实数的值（ ）
A. B. C. D. 2
答案：D
解析：
思路：根据平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件列式计算求解
解答过程：因为，，
又，所以，解得.
5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：B
解析：
思路：确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果.
解答过程：由题意可知，两种无人机必须交错排列，
即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位；
架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位，
所以不同的飞行队形种数为种.
6. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ）
A. 8B. C. 16D.
答案：D
解析：
解答过程：如图1，在圆台的轴截面中作于点.
设，由题意得，，
由勾股定理可得，解得，所以.
侧面展开图如图2，的长为，的长为，
所以，又，所以，
所以，所以.
7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用组合计数问题求出每轮游戏甲或乙胜的概率，再利用概率的加法公式、乘法公式求解.
解答过程：每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为，
第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为，
同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为．
8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项.
解答过程：因为，则，，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，即当时，，即，
因为，则，所以，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，
由题意可知，，故，
因为，，故，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，且，
因为，则，
所以，
又因为，所以，故，D错.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ）
参考数据：若，则，0.9973．
A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2
B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3
C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为
答案：AC
解析：
解答过程：由题意知，，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09.
所以A正确，B错误.
该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为，
所以C正确.
因为，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误.
10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：分焦点在轴上和轴上两种情况，把点代入得到关系求出离心率范围即可．
解答过程：解：若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率．
综上可知．
11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ）
A. B. 的取值范围是
C. 的取值范围是D. 的最小值为
答案：ACD
解析：
思路：先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项.
解答过程：对于A，由，可得，即，
由余弦定理可得，
又为锐角三角形，所以，A正确；
对于B，由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以，故，
因为，所以的取值范围为，B错误；
对于C，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以周长，C正确；
对于D，设的中点为，因为是的重心，所以，
在中，由余弦定理可得，
故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，若，，则______．
答案：0
解析：
思路：
首先根据题意得到，再解方程组即可.
解答过程：由题知：，解得.
.
故
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________.
答案：4
解析：
思路：根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得．
解答过程：由，得焦点，准线．
设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以.
过点作，垂足为．
因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得.
在直角三角形中，.
所以.
又因为，且三点共线，所以.
因为是的平分线，所以.
故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为．
又直线过点，所以直线的方程为.
联立直线与抛物线的方程，得.
整理得.
解得或.
因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而.
于是.
14. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______.
答案：
解析：
思路：先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值.
解答过程：令，可得或，.
由题图可知，，所以，
因为，即，故. 因为，即，
又因为点在单调递减区间上，所以可取，则，
从而.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）若，求的前项和．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据给定条件，列出关于首项、公差的方程组，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
（1）设的公差为，由，得，解得，
所以，
.
（2）由（1）得，，
则，
所以
.
16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
（1）求的方程；
（2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可.
（2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积.
（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
17. 如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点.
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）找PA的中点F，证明即可得出证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EBC和平面ABCD的法向量，然后根据向量法求两平面夹角的余弦值即可.
（1）如图，取的中点，连接.
由为的中点，为的中点，，且，
可得，.
所以四边形为平行四边形，故.
又平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，，得四边形是平行四边形
于是，又，则，直线两两互相垂直.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为．
（1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率．
（2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和．
（i）求的分布列；
（ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围．
答案：（1）
（2）（i）
（ii）．解析：
思路：（1）根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式求解.
（2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率列出分布列；（ii）由（i）求出的期望、方差即可.
（1）记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”，
事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为
．
（2）（i）的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
（ii）由（i）得， ，
所以 ，
所以的取值范围是.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有实根，求的取值范围；
（3）若函数有个极值点、，证明： ．
答案：（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）求出函数的定义域，求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）由结合参变量分离可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）利用极值点的定义可得出，，结合可得出，求得，，化简得出，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立.
（1）由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得.
此时函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
（3）由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故.
0
1
2
0
1
2