2025--2026学年湖南省长沙市第一中学高二下册5月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省长沙市第一中学高二下册5月期中数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
3. 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：，，
A. B. C. D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，则
10. 定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于成中心对称
D.
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为
B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为
D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________．
13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________．
14. 现有一盒子里装有序号分别为的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，则满足的情况有______种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积.
16. 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值．
17. 已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功.
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作.
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；
（ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
19. 已知是椭圆上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点．
（1）设点R处的切线l的斜率为请用R的坐标表示
（2）（i）求的面积的最大值；
（ii）当的面积取最大值时，求的重心的坐标．
数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
解答过程：因为，在复平面上对应的点为，位于第一象限，故A正确.
2. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，解得或，所以或，
由，所以，解得或，
所以或，所以或．
3. 某新能源车型的续航里程（单位：公里）服从正态分布．若该车型中的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：，，
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据已知的概率正态分布的均值和方差，再利用正态分布的对称性求出概率即可.
解答过程：因为续航里程服从正态分布，即，
由题意，又，
所以，所以，
所以.
故选：A.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
解答过程：函数的定义域为，则，所以函数的定义域为；
若函数有意义，则，解得．
则函数的定义域为.
5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
解答过程：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
6. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，，而不一定成立，例如，故A不正确；
因为，
若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确；
因为，若，则，故C正确；
因为，若，
不一定大于1，例如，故D不正确．
7. 双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：B
解析：
思路：联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 .
解答过程：如图所示：
以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为，
联立圆的方程与渐近线方程得，
化简得，解得，所以轴，
又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以，即，
所以，所以，从而．
8. 定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：采用描点法作出草图如下表：
函数图象如下：
令，
当时，，故A正确；
当时，，故C正确；
当时，，故B正确．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：选项B通过举出反例来说明其错误，选项A、C、D利用不等式的性质来说明其正确．
解答过程：选项A：，所以，所以，故，故A正确；
选项B：当时，，故B错误；
对于C：因为，所以同号，故时，，故C正确；
对于D：由糖水不等式，所以，故D正确．
10. 定义在上的函数满足为偶函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于成中心对称
D.
答案：BCD
解析：
思路：先根据为偶函数，可得到的图象关于直线对称，再根据可得到的图象关于直线对称，进而可得到的周期，再判断各个选项的正确性.
解答过程：为偶函数，，
即，的图象关于直线对称，
即函数的图象关于直线对称，故A错误；
又，，
故函数关于中心对称，故C正确；
而函数有对称轴，有对称中心点，由对称性可得函数关于直线对称，故B正确；
又，，
所以函数为周期函数，周期是，故D正确．
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为
B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为
D. “等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合
答案：ABD
解析：
思路：将“等腰四面体”放入长方体内，分别对选项进行一一求解. 选项A，长方体的三条面对角线分别为，设长方体的长宽高分别为，列出关于的方程组，从而求出的值，则“等腰四面体”的体积，代入数值得解；选项B，用表示“等腰四面体”的每个面的三条棱长，得到四个面全等，求出任意两条边的平方和大于第三边的平方，从而得到“等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，从而得到结论；选项C，球的直径计算得解；选项D，“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点，由四面体是全等的四面体，得到到面，面，面的距离相等，从而得到也为“等腰四面体”的内切球球心，从而得到结论．
解答过程：如图所示，可将“等腰四面体”放入长方体内，
选项A，长方体的三条面对角线分别为，
设长方体的长宽高分别为，所以有，
累加得，解得，
所以“等腰四面体”的体积，故A正确；
选项B，“等腰四面体”的每个面的三条棱长分别为，
故四个面全等，
又，
“等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，故B正确；
选项，可知，累加得，
球的直径，故C错误；
选项D，因为“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点，
故（为外接球的半径），
从而四面体是全等的四面体，
故到平面，平面，平面的距离相等，
故也为“等腰四面体”的内切球球心，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________．
答案：
解析：
思路：由二项式系数和求得，再由通项公式即可求解.
解答过程：由题意可得，即，
通项公式，
令，可得：，
所以的系数为，
故
13. 已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________．
答案：
解析：
思路：经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入，结合残差公式联立方程组可求得的值，再代入求解即可.
解答过程：由已知得，所以，①
又因为时，残差为-0.1，故，②
联立①②得；所以经验回归直线方程为，
所以，当时，．
14. 现有一盒子里装有序号分别为的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，则满足的情况有______种．
答案：
解析：
思路：由题设条件得，设，则，还有一个数为，则，讨论并结合排列数，即可求所有情况数.
解答过程：对的大小进行讨论，设，
①时，；
②时，；
③时，；
④时，；
⑤时，；
⑥时，．
综上：，
即，
不妨设，则，还有一个数为，
显然，对于任意取值，都有如下情况：
当时，三个数为，有种方法；
当时，三个数为，有种方法；
当时，三个数为，有种方法，
所以一共有种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.
（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可.
（1）（1）向量与平行，
所以，
由正弦定理可知：，
，，
所以，，
可得；
（2），，
由余弦定理可得：，
可得，
解得或（舍），
的面积为．
16. 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值．
答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，；当时，；当时，．
解析：
思路：（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果；
（2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果.
（1）因为时，，
所以，
令，解得，
所以时，；时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），令，解得，
①当，即时，
在上单调递增；所以；
②当，即时，
对于，，故在上单调递增，
所以；
③当，即时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增，
若，即，则在上单调递减，所以；
若，即，则在上单调递减，上单调递增，
所以；
综上：当时，；
当时，；
当时，．
17. 已知是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知是和的等比中项．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和
答案：（1），．
（2）解析：
思路：（1）由求出的通项公式，再由和的等比中项可求出的通项公式；
（2）利用裂项相消法和分组求和法求前项和.
（1）设等差数列的公差为，因为，
可得，所以，解得，
所以，
则，
是和的等比中项，可得，所以，
设等比数列的公比为，则，解得，
所以，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）．
又因为，
所以的前项和．
记的前项和为，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
综上：
18. 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功.
（1）在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作.
（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；
（ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
（2）研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.
答案：（1）可靠度
（2）见解析.
解析：
思路：（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；
（2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案.
（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为，
故甲型部件的可靠度；
（ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，
故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B，
设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C，
则,
设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D，
则,
设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E，
则,
,
,
,
（2）（2）优化后系统可靠度提高了.
原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了.
按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法：
方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为；
方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为.
；
因为，所以，，即，
所以当时，两个方案都可以；
当时，方案二可靠度更高.
19. 已知是椭圆上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点．
（1）设点R处的切线l的斜率为请用R的坐标表示
（2）（i）求的面积的最大值；
（ii）当的面积取最大值时，求的重心的坐标．
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求解.
（2）（i）分别按照直线的斜率不存在和存在这两种情况讨论求解，设出直线．通过联立椭圆方程，通过整理得到，利用三角形的面积得到．通过构造函数，利用导数的单调性得到最大值.
（ii）分别按照直线的斜率不存在和存在这两种情况求解，通过（i）可以得到的坐标，的中点的坐标，从而得到是的重心.
（1）当时，，
故点处的切线的斜率．
当时，，
故点处的切线的斜率，
综上可知，处的切线的斜率为．
（2）（i）①当的斜率不存在时，不妨设直线．
联立椭圆方程，整理得，
因此，
当为椭圆的左端点，的面积取最大值，
此时到直线的距离为，
．
设，
设，则，
当时，，解得，则在上是单调递增函数，
当时，，解得，则在上是单调递减函数，
故在处取得最大值，，
故，此时，即，
因此，当且仅当时取最大值；
②当的斜率存在时，设直线，由对称性，不妨设，
联立得，
则，
故，
先固定，要使得的面积最大，
即点处的切线与平行，即，
由（1）可知，则，
代入椭圆方程得到，解得，
根据，可知，
故，（当时，由椭圆的对称性，取），
则点到直线的距离，
此时
．
令，
则，
由可知，，即，故．
设，设，
，
当时，，解得，则在上是单调递增函数，
当时，，解得，则在上是单调递减函数，
故在处取得最大值，，
故，
故，
当且仅当，且时取等，即时取等．
综上可知，的面积的最大值为.
（ii）由（i）可知，当斜率不存在时，的中点为，
所以是的重心；
当斜率存在时，当取最大值时，，
且坐标满足，
设的中点为，则（i）中由韦达定理可知，
，
则，
则，且，
即三点共线，且满足，因此为的重心．
x
5
6
7
8
9
y
3.5
4
5
6
6.5
盒一
31
45
28
55
58
66
57
39
42
盒二
48
67
42
46
56
35
29
53
34
盒三
31
53
48
37
29
34
45
58
64
盒四
55
28
44
36
61
47
56
61
57
盒五
30
49
54
43
35
62
32
56
59
盒六
54
52
29
37
56
47
60
38
44
1
2
3
4
5
6
3
6
11
20
37
70
3
8
15
24
35
48
3
x
5
6
7
8
9
y
3.5
4
5
6
6.5
盒一
31
45
28
55
58
66
57
39
42
盒二
48
67
42
46
56
35
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53
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盒三
31
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48
37
29
34
45
58
64
盒四
55
28
44
36
61
47
56
61
57
盒五
30
49
54
43
35
62
32
56
59
盒六
54
52
29
37
56
47
60
38
44