2025~2026学年湖南株洲市第四中学高二下册五月检测数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年湖南株洲市第四中学高二下册五月检测数学试题 [含答案]试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则
A. B. 或
C. D. 或
【正确答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合A，再利用交集的定义和不等式的性质求解.
【详解】，或，
.
2. 设复数（为虚数单位），则（）
A. 2B. C. D. 1
【正确答案】D
【分析】根据复数计算规则计算即可.
【详解】，所以；
故选：D
3. 已知等差数列中，为其前项和，，则等于（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【正确答案】C
【分析】设等差数列的公差为，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，即，解得，
所以，
故选：C
4. 已知向量，，若，则实数（）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可；
【详解】由题意可知，且，所以，解得.
故选：C.
5. 已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据空间向量的夹角坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以，.
故选：C
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于两点，，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】
根据双曲线定义可转化得到，结合，可求出，则，利用余弦定理表示出与的关系，进而可得到的值．
【详解】不妨设在的右侧，作出示意图如图：
根据双曲线的定义：，则，
且有，代入可得，则，
因为，则，且，
则，则，
在中，，则，
即，
整理可得，则，
故选：B．
本题考查的是三角函数的定义及利用勾股定理和余弦定理解三角形，属于中档题.
7. 函数的定义域为，对任意，，则的解集为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
构建新函数，利用导数讨论其单调性，从而可解不等式，该不等式的解集就是原不等式的解集.
【详解】令，则，
所以为上的增函数，又，
故的解是的解，所以的解为.
故等价于即，所求解集为，故选B.
解函数不等式，通常需要构建新函数并利用新函数的单调性来求不等式的解，而新函数的单调性可用复合函数的单调性的判断法则或导数的正负来判断.
8. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，点，为曲线上任意两点，且，则（）
A. 曲线由两个圆构成B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】已知方程化简得出即或判断A,应用点到圆的距离范围判断B,应用两角差的余弦公式及三角函数值域判断C,结合换元法计算求解数量积范围判断D.
【详解】对于A，依题意，方程即，
即或，
所以曲线由以，为圆心，1为半径的两个圆构成，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，设，，
，，
因此，C选项正确；
对于D，
，
令，则，当，时等号可成立.
显然反向，且在x轴上时，，因此，D选项正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，，下列成立的是（）
A. 若是偶函数，则
B. 的单调增区间是
C. 的值域为
D. 当时，方程都有两个实数根
【正确答案】ABD
【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；求出函数的值域，可判断C选项；由可得出，结合判别式法可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
若函数为偶函数，则，则，
即，即对任意的恒成立，则，A对；
对于B选项，内层函数的增区间为，外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，B对；
对于C选项，对任意的，，
则，C错；
对于D选项，当时，，
由可得，则，
，所以，当时，方程都有两个实数根，D对.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（）
A.
B. 点C到平面的距离为
C. 如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D. 动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为
【正确答案】BD
【分析】取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断A，根据等体积法判断B，求出内切球的半径，即可判断C，连接，即可得到，从而判断D.
【详解】取的中点，连接，则且为靠近的一个三等分点，过点作交于点，则，
又平面，如图建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，，，，，
所以，，
所以，所以与不垂直，故A错误；
因为，所以，
又，所以，
设点到平面的距离为，则，解得，
即点C到平面的距离为，故B正确；
对于C：因为，设正四面体的内切球的半径为，
则，即，解得，
所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为，故C错误；
对于D：连接，因为，平面，平面，
所以，所以，所以，
则点在平面所表示的图形为以为圆心，为半径的圆面，
所以动点的轨迹表示图形的面积为，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为______．
【正确答案】
【分析】根据题设可得椭圆的长半轴为，结合椭圆参数关系求，即可得离心率.
【详解】因为底面半径为R的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为，长半轴为，且，
，
椭圆的离心率为；
故．
13. 已知在处有极值，则______.
【正确答案】3
【分析】由题知为极值点,故，又联立求解即可.
【详解】由题，
且在处有极值，
所以
所以
此时
令或，
令，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以为极小值点，满足题意，
所以
所以.
故3.
14. 在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则_________；若，则的最小值_________.
【正确答案】 ①. ## ②.
【分析】利用余弦定理可求，利用三角变换公式结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
而为三角形内角，故.
若，则，
故，
因为为锐角三角形内角，故，
所以，
而
，
因为为锐角三角形内角，
故，
故，当且仅当时等号成立，
而此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，故，
由基本不等式可得，当且仅当等号成立，
故的最小值为8，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
【正确答案】（1）；（2）单调递增区间是和，最大值是18，最小值是．
【分析】（1）求导函数，由二次函数的性质和导函数的几何意义建立方程，解之可求得答案；
（2）由得到求得导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，可求得最值.
【详解】解：（1），导函数的最小值为，，
又函数图象在点处的切线与直线垂直，而直线的斜率为，
函数图象在点处的切线的斜率为，
即，解得，
所以；
由得到，
列表如下：
函数的单调递增区间是和，
，
函数在上的最大值是18，最小值是．
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由．
【正确答案】（1）证明：在平行四边形中，，所以，所以，
因为平面平面，平面底面，所以平面，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）存在，F为中点， 点到平面的距离.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
假设线段上是否存在一点，使平面，连接交于O，平面，平面平面，
所以，在中，O为中点，所以F为中点，假设成立，F为中点；
由（1）可知，两两垂直，，所以建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
所以，即，令得，，所以，
点到平面的距离为.
17. 某科研团队准备攻克甲、乙、丙三项新技术，已知甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，，，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，可分别获得科研奖金30万元、20万元、10万元.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术不会获得科研奖金.
（1）求该科研团队获得30万元科研奖金的概率；
（2）记该科研团队获得的科研奖金（单位：万元）为随机变量X，求X的分布列及均值.
【正确答案】（1）
（2）分布列见解析，
【分析】（1）记甲、乙、丙三项新技术被攻克分别为事件A，B，C，则该科研团队获得30万元科研奖金的概率，由求解；
（2）X所有可能的取值为0，20，40，60，80，100，120，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
解：记甲、乙、丙三项新技术被攻克分别为事件A，B，C，
则，，，
该科研团队获得30万元科研奖金的概率为，
，
；
【小问2详解】
X所有可能的取值为0，10，20，30，40，50，60，
，
，
，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
所以.
故所求的均值为.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．
（1）求的方程；
（2）若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意，由两直线的斜率之商为2以及离心率公式，代入计算，即可求得从而得道结果；
（2）根据题意，分直线，直线其中一条直线斜率不存在与直线，直线的斜率均存在讨论，然后联立方程，由三角形的面积公式结合基本不等式即可得到结果.
【小问1详解】
设，
所以，由直线的斜率与直线的斜率之商为2，
可得，所以，
又离心率，所以，则，
所以的标准方程为.
【小问2详解】
当直线，直线其中一条直线斜率不存在时，不妨令，
此时面积为；
当直线，直线的斜率均存在时，不妨设直线的方程为，
则直线的方程为，设点，
联立方程可得，
所以，
联立方程可得，
所以，
所以，
因为，又，
所以，又，
所以面积的最小值为，当且仅当，即时等号成立.
关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合基本不等式计算.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，数列满足．
①若首项，证明数列为递增数列；
②若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值．
【正确答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6．
【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围从而得到函数的单调性；
（2）将代入，求出的表达式，由（1）知函数在区间上单调递增．①利用数学归纳法证明即可，②问题转化为求函数的单调性问题，求出使的最小正整数即可求解．
【详解】（1）可知的定义域为，且．
当即，则，得在单调递增；
当，即时，若，则；若或，则，
此时在单调递减，在，单调递增；
当，即，可得在单调递减，在单调递增．
综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）若，则，由（1）知函数在区间上单调递增．
①因为，所以，可知．假设，因为函数在区间上单调递增，
所以，即得．所以，由数学归纳法可得．因此数列为递增数列．
②由①知：当且仅当，数列为递增数列．所以，
且为正整数．得．令，则，显然时，，
可知函数在区间递增．由于．
所以，首项的最小值为6．
x
0
0
极大值
极小值
x
0
10
20
30
40
50
60
P