2025--2026学年辽宁省大连市第八中学高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁省大连市第八中学高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知随机变量且，则， 对于事件A，B，，，，则， 已知数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知随机变量且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若依次成等差数列，依次成等比数列，则（ ）
A. 3B. C. 或3D. 或4
3. 通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（ ）．
A. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
B. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
C. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 0
5. 对于事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
8. 已知数列满足，给出下列四个结论：
①存在，使得为常数列；
②对任意的为递增数列；
③对任意的既不是等差数列也不是等比数列；
④对于任意的，都有.
其中所有结论中正确的有（ ）个.
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（）
A. 的估值为，的估值为B. 的估值为，的估值为
C. 可化为D. 可化为
11. 已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D. 若，则
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分
12. 某公司统计了2025年1月份到5月份某产品的销售额如下表：
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则______.
13. 已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）.
14. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且，，.若数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表．
单位：人
（1）求出x，y的值；
（2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
（3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据：，其中．
17. 设是数列的前项和，已知，.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前项和，证明：；
（3）记cn=lg2an−12，若不等式恒成立，求实数的范围.
18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
（1）已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
（2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由．
19. 定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为.
（1）求；
（2）证明：；
（3）记为数列的前项和，证明.
数学
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：随机变量服从二项分布，用二项分布的期望和方差公式，写出关于的方程组即可求解.
解答过程：已知随机变量，因此，
由于，则有EX=2=np=6×p ，解得，
则DX=np1−p=6×13×1−13=43，故B正确.
2. 若依次成等差数列，依次成等比数列，则（ ）
A. 3B. C. 或3D. 或4
答案：C
解析：
思路：根据等比中项和等差数列的性质，可分别求得的值，进而得到答案.
解答过程：由于成等差数列，所以，
依次成等比数列，所以，则或
当时，，
当时，.
故选：C
3. 通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（ ）．
A. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
B. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
C. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
答案：B
解析：
解答过程：改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错；
去除A点后，线性相关程度变高，
因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确.
4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 0
答案：D
解析：
思路：利用基本量法求得，再根据等差数列求和公式求解即可.
解答过程：∵成等比数列，∴，
∴=，，解得.
故 .
故选：D
5. 对于事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解.
解答过程：由条件概率公式，可得，
故，
又因，则.
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得.
解答过程：因为，所以，
所以当时，，，…，，
累加可得，
因为，所以，当时，，满足上式，
所以，
故选：B．
7. 某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
答案：A
解析：
思路：在“等额本金还款法”下，每年偿还的本金是固定的，但利息会随着剩余本金的减少而减少。这导致每年的总还款额构成一个等差数列，根据题意算出首项和公差即可求解.
解答过程：设第一年的还款金额为，
由于第一年要还本金200000÷10=20000 元以及利息200000×5%=10000 元，因此万元，
由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少20000×5%=1000 元，即万元，
因此，这个等差数列的公差d=−0.1 万元，
因此，这个等差数列的通项公式为an=a1+n−1d=3−0.1×n−1，
则第三年的还款金额为a3=3−0.1×3−1=2.8 万元，故A正确.
8. 已知数列满足，给出下列四个结论：
①存在，使得为常数列；
②对任意的为递增数列；
③对任意的既不是等差数列也不是等比数列；
④对于任意的，都有.
其中所有结论中正确的有（ ）个.
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：
思路：若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④.
解答过程：对于①，若为常数列，则，根据递推公式，
可得，进而可得，解得，又，
故不存在，使得为常数列，故①错误；
对于②，对于，由递推公式，可得，
所以，，所以，
所以数列是递增数列，结论②正确；
对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，
则可得是常数数列，则，与矛盾，
故对任意的，既不是等差数列，
若是等比数列，则为常数。根据递推公式，
即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，
所以对任意的，不是等比数列；
综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；
对于④，由，
当时，，
两边平方，得，
当时，，
所以当时，，故④正确.
因为②③④正确，所以正确的有个.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：根据正态分布的性质，结合正态密度曲线的图象特征，判断选项.
解答过程：A.，故A错误；B.，，故B正确；
C.因为，其中，所以，故C正确；
D.两个分布的平均数都是16，所以两个函数图象的对称轴相同，，，越小，数据越集中，正态分布密度曲线越高，，故D错误.
10. 为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（）
A. 的估值为，的估值为B. 的估值为，的估值为
C. 可化为D. 可化为
答案：AC
解析：
思路：对AB，利用表格和频率估计概率，代入计算即可；对C、D，利用贝叶斯公式和条件概率公式化简即可
解答过程：对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共只，
因此，。由定义
事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只，
因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误.
对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：，
代入得：
又，因此：，选项C正确，选项D错误
11. 已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D. 若，则
答案：BCD
解析：
思路：根据已知递推式得且，进而有判断A、B；应用的关系得判断C；根据等差数列的定义及前n项和公式判断D.
解答过程：因为，即，
所以，则，
所以，而，则，
所以数列是各项都为0的常数列，不是等比数列，故A错误.
因为，所以数列的通项公式为，则，
所以数列是公比为2的等比数列，故B正确.
由，得，
两式相减并整理，可得，所以，
两式相减并整理，可得，所以，
所以数列是等差数列，故C正确.
当时，由，可得，所以，
又，所以等差数列的公差为1，所以，
所以，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分
12. 某公司统计了2025年1月份到5月份某产品的销售额如下表：
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则______.
答案：2.6
解析：
解答过程：可知，
，
因为经验回归方程经过均值点，即，解得.
13. 已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）.
答案：（填写之间的任意一个实数都可）
解析：
思路：根据为的最小值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算.
解答过程：因为等差数列首项，且是前项和的最小值，
所以公差，且满足a26≤0a27≥0，
根据等差数列通项公式可得：−20+25d≤0−20+26d≥0，
解得：，
再根据前项和公式S26=26(a1+a26)2=13(−40+25d)=−520+325d ，
可得：，
化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如.
14. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________.
答案：
解析：
思路：根据“对数底数列”的定义，列出一系列等式，然后进行相乘进而发现规律，从而可求出结果.
解答过程：因为数列是“对数2底数列”，所以，所以，
所以且，
以上式子相乘得，所以，
所以，得，
即，得，因为，所以；
同理，，所以，所以，
所以.故.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且，，.若数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）列方程组求出公差和公比，进而写出通项公式，然后可得；
（2）结合等差数列和等比数列的求和公式，用分组求和法求和即可.
（1）由，得3+d=q33+4d=q2，而，
解得，因此，
（2）Sn=n3+6n−32+1−9n1−9=3n2+189n−1.
16. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表．
单位：人
（1）求出x，y的值；
（2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
（3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据：，其中．
答案：（1）
（2）青年男性有较好体验的概率为，青年女性有较好体验的概率为，且青年男性更大
（3）该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关
解析：
思路：（1）根据题意列式求解即可；
（2）结合列联表，直接列式子求解即可；
（3）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论．
（1）由题意，得，解得．
（2）由（1）得，
所以该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率，对于青年男性为，
对于青年女性为，因此青年男性概率更大．
（3）零假设为：该游戏软件的使用体验与体验者的性别无关，
由题意计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以判断该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关．
17. 设是数列的前项和，已知，.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前项和，证明：；
（3）记，若不等式恒成立，求实数的范围.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）根据和的关系，通过作差法，求出递推公式，构造数列，通过定义法证明是等比数列即可；
（2）根据裂项公式对数列进行化简，再根据裂项求和法，求出数列的前项和，说明即可；
（3）根据数列通项公式，求出不等式，再根据参变分离法，求出参数满足的条件，进而构造函数，根据作差法，求出函数最大值，进而判断参数范围；
（1）已知，当时，，
两式相减得：，
整理得：，即，
当时，，解得，
可知满足条件，
又，因此是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，所以，
所以
所以，
因为，所以.
（3）由得：，因此，
化简不等式左边：，
因此，
不等式恒成立，等价于对任意恒成立，
设，则，
当时，解得，即时，；
当时，解得，即时，，
因此的最大值为，故，
即的取值范围为.
18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
（1）已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
（2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由．
答案：（1）①；②
（2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析
解析：
思路：（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望；
（2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论.
（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，
则．
②依题可知，X的可能取值为0，1，2，
则由①知，
，
，
∴X的分布列为
∴；
（2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下：
设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，
则，
∵，
，
∴，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
19. 定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为.
（1）求；
（2）证明：；
（3）记为数列的前项和，证明.
答案：（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据题意求出维球的直径，利用公式代入计算即可；
（2）将，代入公式进行化简，再对问题进行证明；
（3）对通项公式进行化简，再结合错位相减法求和计算即可.
（1）显然，于是，
故，
.
（2）注意到，，
于是，
，
可得.
（3）注意到
，
设的前项和为，
，
，
两式相减得；
于是.
发病
未发病
合计
使用药物
5
45
50
未使用药物
25
25
50
合计
30
70
100
月份
1
2
3
4
5
销售额/万元
1.8
2.2
2.8
3.1
体验
性别
合计
青年男性
青年女性
较好
200
一般
100
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
发病
未发病
合计
使用药物
5
45
50
未使用药物
25
25
50
合计
30
70
100
月份
1
2
3
4
5
销售额/万元
1.8
2.2
2.8
3.1
体验
性别
合计
青年男性
青年女性
较好
200
一般
100
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
体验
性别
合计
青年男性
青年女性
较好
120
80
200
一般
30
70
100
合计
150
150
300
X
0
1
2
P