2024-2025学年吉林省吉林市松花江中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省吉林市松花江中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xy=lnx2−1 ，B=yy=x2−4x−5 ，则A∩B=( )
A. (−1,1)B. (1,+∞)C. [−9,+∞)D. [−9,−1)∪(1,+∞)
2.命题“∀a>1，函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递增”的否定为( )
A. ∃a>1，函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递减
B. ∃a>1，函数f(x)=xa在[a,+∞)上不单调递增
C. ∃a≤1，函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递减
D. ∃a≤1，函数f(x)=xa在[a,+∞)上不单调递增
3.函数f(x)=13 x2−2x−3的单调增区间为( )
A. (−∞,−1]B. (−∞,1]C. [1,+∞)D. [3,+∞)
4.研究变量x､y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是( )
A. 若变量x和y之间的相关系数为r=−0.992，则变量x和y之间的负相关很强
B. 用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C. 在经验回归方程y=−2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少2个单位
D. 经验回归直线y=bx+a至少经过点x1,y1､x2,y2､……､xn,yn中的一个
5.已知实数a，b且ab>0，则2aba2+b2+a2b2+9取得最大值时，a+b的值为( )
A. 3B. 2 3C. −2 3D. 2 3或−2 3
6.已知a>0，且a≠1，函数f(x)=3a−x,x1
D. f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+...+f(2022)f(2021)+f(2024)f(2023)=2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合A=1,n,5,B= xx2−4x+m=0.若1⊆(A∩B)且B⊆A，则m+n= ．
13.已知f(3x)=x2+1x+1，则f( 33)= ．
14.已知函数f(x)=5−x−3x3，若f(a−1)+f(2a)≥10，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2+2x−8≤0}，B={x|m−4≤x≤3m+3}．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本f(x)(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系近似地表示为f(x)=12x2−300x+64800．
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元?
17.(本小题15分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[−1,1]上的值域．
18.(本小题17分)
将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9％，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
(1)求氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
(ⅰ)根据已知条件，填写上述2×2列联表；
(ⅱ)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：1.回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx；
2.χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈0,12，都有f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)，且f(1)=a>0．
(1)求f(12),f(14)；
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记an=f(2n+12n)，求an．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.D
6.D
7.D
8.A
9.ABD
10.ABD
11.BCD
12.6
13.52
14.−∞,13
15.解：(1)由x2+2x−8≤0，可得(x+4)(x−2)≤0，
所以−4≤x≤2，所以集合A=[−4,2]．
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则集合A是集合B的真子集，
由集合A不是空集，故集合B也不是空集，
所以m−4≤3m+3m−4≤−43m+3≥2 ⇒m≥−72m≤0m≥−13 ⇒−13≤m≤0,
当m=−13时，B={x|−133≤x≤2}满足题意，
当m=0时，B={x|−4≤x≤3}满足题意，
故−13≤m≤0，即m的取值范围为−13,0．
16.解：(1)该企业的月处理成本f(x)=12x2−300x+64800=12(x−300)2+19800，
因为30≤x≤400，f(x)在[30,300]上单调递减，在(300,400]上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元．
(2)因为f(x)=12x2−300x+64800(30≤x≤400)，
所以每吨的平均处理成本g(x)=f(x)x=12x−300+64800x．
因为x2+64800x≥2 x2⋅64800x=360，当且仅当x=360时，等号成立，
所以g(x)≥60，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元．
17.解：(1)解：因为f(0)=1，所以c=1，所以f(x)=ax2+bx+1，
又因为f(x+1)−f(x)=2x，所以a(x+1)2+b(x+1)+1−ax2+bx+1=2x，
所以2ax+a+b=2x，
所以2a=2a+b=0，所以a=1b=−1,
即f(x)=x2−x+1．
(2)解：因为f(x)=x2−x+1=x−122+34，所以f(x)是开口向上，对称轴为x=12的抛物线．
因为f(x)在−1,12递减，在12,1递增，所以f(x)min=f12=34，
因为f(−1)=1+1+1=3，f(1)=1−1+1=1，
所以f(x)max=f(−1)=1+1+1=3，
所以f(x)在[−1,1]上的值域为34,3．
18.解：(1)年份x的平均数x=2020，销量y的平均数y=5，
所以i=15xi−x2=(−2)2+(−1)2+02+11+22=10，
i=15xi−xyi−y
=(2018−2020)×(2−5)+(2019−2020)×(3.5−5)+(2020−2020)×(2.5−5)
+(2021−2020)×(8−5)+(2022−2020)×(9−5)=18.5，
所以b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=18.510=1.85，
所以a=y−bx=5−1.85×2020=−3732，
所以氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程为y=1.85x−3732，
令x=2024，得y=1.85×2024−3732=12.4，
所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
(2)(ⅰ)根据男生和女生各60名，补全2×2列联表为：
(ⅱ)零假设H0：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据2×2列联表中的数据可得，
χ2=120×(35×40−25×20)260×60×55×65≈7.55>6.635，
依据α=0.01的独立性检验，可以推断H0不成立，
即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．
19.解：(1)因为对任意的x1,x2∈[0,12]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，
所以f(x)=f(x2+x2)=f(x2)f(x2)≥0,x∈[0,1]，
又f(1)=f(12+12)=f(12)f(12)=[f(12)]2，
f(12)=f(14+14)=f(14)f(14)=[f(14)]2，f(1)=a>0，
∴f(12)=a12,f(14)=a14．
(2)设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1−x)，
即f(x)=f(2−x),x∈R，又f(x)是偶函数，
所以f(−x)=f(x),x∈R，
∴f(−x)=f(2−x),x∈R，将上式中−x以x代换，
得f(x)=f(x+2),x∈R，
则f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
(3)由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]，
∵f(12)=f(n⋅12n)=f[12n+(n−1)⋅12n]=f(12n)f[(n−1)⋅12n]=⋯
=f(12n)f(12n)⋅⋯⋅f(12n)=[f(12n)]n，
又f(12)=a12，∴f(12n)=a12n．
∵f(x)的一个周期是2，
∴f(2n+12n)=f(12n)，因此an=a12n．x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
年份x
2018
2019
2020
2021
2022
销量y(万台)
2
3.5
2.5
8
9
了解
不了解
合计
男生
25
女生
20
合计
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
35
25
60
女生
20
40
60
合计
55
65
120