2025--2026学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. 4B. C. D. 2
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 零向量的长度是0B. 向量是有向线段
C. 若，则D. 若是共线的单位向量，则
10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B. 有最大值
C. 有最大值D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是偶函数，则的一个值是__________.
13. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.
14. 已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）求；
（2）当为何值时，与共线？
16. 已知，复数．
（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若z满足，，求的值．
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点.
（1）用向量，表示，.
（2）若，，求的值；
（3）若，求的取值范围.
19. 在中，是边上靠近的三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. 4B. C. D. 2
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以的虚部为2.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
答案：A
解析：
解答过程：由，得，解得.
3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
解答过程：由，且，则，
所以.
故选：D
4. “”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据余弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
解答过程：若函数的最小正周期为，则，解得，
所以“”时，可得“函数的最小正周期为”，
“函数的最小正周期为”，不能推出“”.
所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
答案：C
解析：
思路：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解.
解答过程：因为复数是关于x的方程的一个根，
所以复数也是关于x的方程的一个根，
则，所以，
所以.
故选：C.
6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
解答过程：由，得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先利用诱导公式和二倍角正弦公式化简得f(x)=12sin2ωx−π3，然后利用换元法及正弦函数的单调性列不等式求解即可.
解答过程：f(x)=sinωx−π6sinωx+π3=sinωx−π6csωx−π6=12sin2ωx−π3(ω>0) ，
当时，，
因为在上单调递增，则，解得，所以．
8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
答案：A
解析：
解答过程：由题可知，
则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，两式相加，
得，即，
解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 零向量的长度是0B. 向量是有向线段
C. 若，则D. 若是共线的单位向量，则
答案：AC
解析：
解答过程：对于A，由零向量的定义可知，A正确；
对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误；
对于C，由向量相等的定义可知，C正确；
对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误．
10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
答案：ABD
解析：
思路：设复数，然后逐个分析判断即可.
解答过程：对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B. 有最大值
C. 有最大值D. 有最小值
答案：AC
解析：
思路：利用两角差正弦公式和条件得判断A；令，则，利用两角差的正切公式得，然后使用基本不等式求得有最大值，即可判断BCD.
解答过程：对于A，因为，
又，所以，
则，故A正确；
对于BCD，令，则，
因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以有最大值，故C正确，BD错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是偶函数，则的一个值是__________.
答案：（答案不唯一）
解析：
思路：根据是偶函数可得到，，即，，再根据写出一个答案即可.
解答过程：因为是偶函数，所以，，
即，，
因为，所以，解得，
因为，可取，得，
所以的一个值是.
故（答案不唯一）.
13. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.
答案：
解析：
思路：根据图形的对称性得出，再应用共线时周长最小，再应用余弦定理计算即可求值.
解答过程：如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，
由图形的对称性知，
则，
的周长，当且仅当四点共线时取等号，
，
的周长的最小值是.
故
14. 已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______.
答案：
解析：
思路：数形结合推出即可由题意得到，再由基本不等式即可求解.
解答过程：如图，
对任意，都有，
令，则，
则由t的任意性可得，即，
所以，
所以由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）求；
（2）当为何值时，与共线？
答案：（1）4 （2）．
解析：
（1）已知，可得，
两边同时除以2得，
因此a⋅b=2×−1+3×2=−2+6=4 .
（2）根据向量数乘与减法的坐标运算法则，可得，.
若ka−b与共线，则存在实数 使得，
即2k+1=3λ3k−2=8λ，解得k=−2,λ=−1 .
因此时，与共线.
16. 已知，复数．
（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若z满足，，求的值．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.
（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.
（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）．
解析：
（1）由函数的最大值为，最小值为，结合，得.
由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得.
由周期公式T=2πωω>0，得，故，
将最小值点−π3,−2代入，得csφ−2π3=−1 ，解得，
结合，取得，故.
（2）令，解得，
故的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ，(k∈Z) .
（3）由图像左移​个单位得gx=fx+π4=2cs2x+π4−π3=2cs2x+π6.
在上恰有三个零点，等价于cs2x+π6=12在上恰有三个解，
令，当时，u∈π6,2m+π6，
的通解为或，
在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​，
故实数的取值范围为.
18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点.
（1）用向量，表示，.
（2）若，，求的值；
（3）若，求的取值范围.
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量线性运算求解；
（2）利用向量共线定理求解；
（3）将相关向量表示出来，求出向量的模，再利用二次函数性质求最值.
（1）由题意可知，，
.
（2）若，，，
设，，，
则，，
，
因为，不共线，所以，解得，
所以，所以.
（3）由题意可知，
若，则，
，
当时，，
则，
所以的取值范围为.
19. 在中，是边上靠近的三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.
答案：（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可；
（2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值.
（1）因为是边上靠近的三等分点，所以，
所以，
设内角的对边分别为，则，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，
化简得，
即.
（2）（i）在中，由余弦定理得，
又，
所以，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
所以，
又是边上靠近的三等分点，
所以，
即的面积的最大值为.
（ii）在中，，
由正弦定理，得，
又，
所以，
因为，所以，
由余弦定理，得，
将代入上式，化简得，
所以
，其中，
当，即时，取得最小值，
的最小值为.
方法提示：关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值.