2025--2026学年河南商丘市商师联盟高二下册4月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南商丘市商师联盟高二下册4月期中数学试题 [含解析]，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A. 18B. 9C. 8D. 7
2. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ）
A. 1440B. 2160C. 4320D. 5760
6. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知随机变量，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若随机变量满足，，则
C. 若DaX+b=4DX，则
D. 若，则有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数________.
13. 若直线是曲线的切线，则实数___________.
14. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的二项展开式中的常数项.
16. 已知函数在处取得极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
17. 某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02．
（1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
（2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）．
18. 围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立.
（1）求的取值范围.
（2）已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望.
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A. 18B. 9C. 8D. 7
答案：C
解析：
思路：根据分类加法计数原理即可求解.
解答过程：由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.
故选：C
2. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度.
解答过程：由题意得，所以，
即该质点在时的瞬时速度为．
故选：A．
3. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由随机变量分布列的性质知，解得.
4. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
5. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ）
A. 1440B. 2160C. 4320D. 5760
答案：C
解析：
解答过程：将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况.
则不同的排法总数共有种.
6. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：对函数求导得，因为函数在定义域上不是单调函数，
所以导函数的函数值既有正值又有负值，故，即，所以.
7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解.
解答过程：先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法，
再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法，
所以不同的分配方法种数为种.
故选：B.
8. 若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求导确定函数单调性，结合极值和端点处函数值的符号即可求解.
解答过程：由，得，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以时，取到极大值，
又在区间上有2个零点，
需满足且，
解得，
即的取值范围是．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
解答过程：对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：
思路：A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求.
解答过程：令，得，故A错误；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将与这两式的左右两边分别相加，
得，解得，故D错误.
故选：BC.
11. 已知随机变量，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若随机变量满足，，则
C. 若，则
D. 若，则有最大值
答案：BCD
解析：
解答过程：对A选项，由知np=3np1−p，则，故A错误；
对B选项，，则，，所以EY=12×2−12=12，故B正确；
对C选项，，则解得，故C正确；
对D选项，，则DXEX=3p×3p1−p=9p21−p，令fp=9p21−p，则f′p=9p2−3p.
令，解得（舍去）或，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以fpmax=f23=43，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则实数________.
答案：或
解析：
思路：根据组合数的性质得解.
解答过程：由组合数的性质得或，
所以或
方法提示：本题考查组合数的性质，属于基础题.
13. 若直线是曲线的切线，则实数___________.
答案：0
解析：
思路：设曲线在点处的切线为，利用导数的意义求解即可.
解答过程：设曲线在点处的切线为，
求导得，所以，所以，
解得，，所以切点坐标为，
所以，所以.
故答案为.
14. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________.
答案：##
解析：
思路：根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论.
解答过程：由题意知服从超几何分布，
则，，，
所以，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的二项展开式中的常数项.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用组合数计算公式求出；
（2）利用通项公式求出，可得答案.
（1）由，得，即，解得，
由，得且，所以；
（2）由（1），得，
的二项展开式中通项公式为，
令，得，
所以的二项展开式中，常数项为.
16. 已知函数在处取得极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）求导，结合已知条件求出，并通过极大值点进行验证；
（2）用导数进行单调性分析，确定极小值点，进而求解．
（1）函数求导得，
故，且，
解得，，
此时，，
令，解得或，
当时，解得，函数单调递减；
当，解得或，函数单调递增，
在处取得极大值，极大值为，符合题意，
，．
（2）由（1）知在上单调递减；在，上单调递增；
函数在处取得极小值，极小值为．
17. 某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02．
（1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
（2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）．
答案：（1）；
（2）.
解析：
解答过程：（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报，
则，所以，
，，
由全概率公式，得，
即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为．
（2）由（1）知，，
所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为．
18. 围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立.
（1）求的取值范围.
（2）已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望.
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）分别求出甲恰好赢一盘的概率，甲恰好赢两盘的概率，再列不等式求解即可.
（2）分析出的取值，再根据二项分布求出分布列，最后求出数学期望.
（1）在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为，
甲恰好赢两盘的概率为，
因为甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率，所以，
又，所以，解得，
即的取值范围是 .
（2）已知在甲与丙对弈的三盘中，每盘甲赢棋的概率是，若甲赢的盘数是，则，
所以，，
，.
的分布列为：
所以（或）.
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，求证： .
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程.
（2）通过，，这三类进行分类讨论.
（3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明.
（1）当时， ，所以，，
所以 ，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证 ，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又 ，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以 ，所以 .
1
2
3
4
1
2
3
4
0
1
2
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