2025--2026学年河南商丘市商师联盟高一下册4月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南商丘市商师联盟高一下册4月期中数学试题 [含解析]，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A. 3B. 7C. 9D. 21
6. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A. 1B. C. iD.
7. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形
B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.
13. 在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．
14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.
15. 设，复数.
（1）若复数是纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）已知，证明：是等腰三角形.
17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
（1）当时，求该艺术品的体积；
（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？
18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，.
（1）用向量和表示；
（2）若，求的值；
（3）若，当为何值时，最小?
19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
答案：C
解析：
解答过程：，所以复数的虚部为.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
答案：A
解析：
解答过程：由，得，解得.
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正弦定理即可求解.
解答过程：因为，所以，
又因为，所以，所以.
4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：根据斜二测画法可知，，又，所以，所以
5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A. 3B. 7C. 9D. 21
答案：B
解析：
思路：根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解.
解答过程：由棱台的体积公式，可得.
故选：B.
6. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A. 1B. C. iD.
答案：D
解析：
思路：根据的计算公式化简求，再化简求.
解答过程：因为，所以，所以，
所以.
7. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用数量积来计算投影向量即可.
解答过程：因为，，由可得：，
以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
答案：A
解析：
解答过程：由题可知，
则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，两式相加，
得，即，
解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形
B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
答案：BC
解析：
思路：根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项.
解答过程：正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；
正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；
四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
答案：AD
解析：
思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.
解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；
对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；
对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.
11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
答案：BCD
解析：
思路：根据复数和向量的对应关系，结合复数模的计算公式，判断选项.
解答过程：取，，则，显然，不能比较大小，A错误；
在BCD中，设，，则，，，
所以，B正确；
由，得，得，
所以，C正确；
，，
，
又
，
所以，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.
答案：或
解析：
思路：求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果.
解答过程：与共线的单位向量为，且，
所以与共线的单位向量为或.
13. 在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．
答案：
解析：
解答过程：此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．
cs∠BAC＝．＝
14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.
答案：
解析：
解答过程：依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，
则线段就是绳的最短长度，此时，由，
得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.
15. 设，复数.
（1）若复数是纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可；
（2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解.
（1）因为，
又复数是纯虚数，所以，
解得.
（2）复数z在复平面内对应的点为，
又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得，即实数m的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）已知，证明：是等腰三角形.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立.
（1）在中，由及正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由及正弦定理得，
由（1）知，所以，即，
所以是等腰三角形.
17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
（1）当时，求该艺术品的体积；
（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积.
（2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值.
（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得，
此时该艺术品的体积为.
（2）设圆柱的半径为，则，解得，
要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，
，
当时，取得最大值，
故当时，该艺术品的表面积最大.
18. 如图，在梯形中，，，，为的中点，.
（1）用向量和表示；
（2）若，求的值；
（3）若，当为何值时，最小?
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据平面向量基本定理，用基底表示向量即可；
（2）根据向量的线性运算，用基底表示向量，列出方程，求出参数值；
（3）根据向量模的计算方法，以及二次函数最值情况，求出最小值即可.
（1）过C作交于F，如图，
因为，所以，，
则四边形是平行四边形，故，即是的中点，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
又因为，
所以，解得，.
（3）因为，，，
所以，
所以当，即时，取得最小值.
所以的最小值为，此时.
19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
思路：（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角；
（2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围；
（3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值.
（1）因为，所以，
由正弦定理得，
而，
所以，
因为，所以，解得（舍去），
因为，所以，即.
（2）由（1）知，由正弦定理得，所以，，
又，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
即的周长的取值范围是.
（3）设，，则，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
所以.
在中，，，所以，
所以，，
所以，
因为，
其中，，
当，即时，等号成立，
所以，
所以，即的面积的最小值为.