河南省商丘市部分学校2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份河南省商丘市部分学校2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ）
A．第4次投篮命中B．第4次投篮未命中
C．前3次投篮均未命中D．投篮命中4次
2．在等比数列中，，，则的公比为（ ）
A．B．C．D．2
3．现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．24B．36C．48D．60
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，则（）
A．B．C．1D．
6．现有两位游客去四川旅游，他们分别从成都、九寨沟、黄龙、峨眉山、乐山大佛、熊猫基地、都江堰这7个景点中随机选择1个景点游玩．记事件“两位游客中至少有一人选择九寨沟”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
7．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．2C．D．
8．用蓝色和红色给一排10个方格染色，则蓝色使用次数不少于红色且至多两个蓝色相邻的方法种数为（ ）
A．71B．126C．171D．175
二、多选题（本大题共3小题）
9．设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等差数列的前项和为，若，且对于任意正整数都有，则（ ）
A．
B．是公差为的等差数列
C．
D．，
11．已知函数，，，则（ ）
A．当时，有且只有一个零点
B．当时，有两个零点
C．无论为何实数，都存在正数使得
D．当时，与零点个数相同
三、填空题（本大题共3小题）
12．某批产品分别来自甲，乙，丙三条生产线，甲生产线生产的产品占，次品率为；乙生产线生产的产品占，次品率为；丙生产线生产的产品占，次品率为．现从这批产品中随机抽取一件进行检测，则抽到的产品是次品的概率是 ．
13．若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14．某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项式．
(1)求的值；
(2)求的值（结果可保留幂的形式）．
16．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立．
(1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）；
(2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差．
参考数据：若，则，，．
17．已知数列的前项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：．
18．某超市货架上并排放有同种品牌和型号的2个黄色、2个红色和1个蓝色书包，李老师从货架上随机取下个进行挑选．
(1)若李老师购买其中的3只书包奖励给班上的3位同学，求不同的安排总数；
(2)若，用随机变量表示红色书包的个数，求随机变量的分布列及期望；
(3)若，假设李老师取下后又随机放回，求书包还是按照原来颜色顺序排列的概率．
19．已知函数的导函数为．若对于区间上的任意实数都有，且的值不恒为0，则称为区间上的“绝对正函数”，区间称为的“绝对正区间”．
(1)若，判断是否为区间上的“绝对正函数”，并说明你的理由；
(2)已知
（Ⅰ）求时，的“绝对正区间”；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为数列为等比数列，
所以且，，，
所以.
故选B.
3．【答案】A
【详解】第一步：甲、乙相邻且乙在甲的右边，这样的排列方式只有1种；
第二步：将甲乙看成一个整体，将其与其余3人站成一排，有种排法.
由分步乘法计数原理可得：满足条件的排法种数为：.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，
令得：.
故选C
5．【答案】B
【详解】的二项展开式中只有第4项的二项式系数最大，
为偶数，且解得，
的二项展开式的通项为
令，解得，
常数项为，解得，
故选．
6．【答案】D
【详解】事件的对立事件为： “两位游客无人人选择九寨沟”，所以，
又，所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】因为，所以当切点满足时，曲线上的点到直线的距离是最短距离，
所以，所以切点为，所以点到直线的距离是，
所以曲线上的点到直线的最短距离是.
故选A.
8．【答案】D
【详解】第一类：蓝色5个，红色5个的情况：先排5个红色，出现6个空，
若蓝色互不相邻，有种方法；
若蓝色为，则先从6个空中选1个空，排双蓝，再从剩余5个空总共选3个，
排单蓝，共有种方法；
若蓝色为，则先从6个空中选1个空，排单蓝，再从剩余5个空中选2空，排双蓝，
共有种方法.
这种情况下总方法种数为：种.
第二类：蓝色6个，红色4个的情况：先排4个红色，出现5个空，
若蓝色为，则先从5个空中选1个，排双蓝，再把4个单蓝排到剩余4个空中，
有种排法；
若蓝色为，则先从5个空中选2个，排双蓝，
再从剩余3空中选2个，排单蓝，有种排法；若蓝色为，
则先从5个空中选3个，排双蓝，有.
这种情况下总方法种数为：种.
第三类：蓝色7个，红色3个：先排3个红色，出现4个空，
蓝色必为形式，先从4个空中选1个，排单蓝，
再把3个双蓝排到剩余3空中，有种排法.
蓝色再多就不能有满足条件的排法了.
故满足条件的排法共有：.
故选D.
9．【答案】BC
【详解】对于A，，
解得，故A错误；
对于B，，解得，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误.
故选BC．
10．【答案】ABC
【详解】因为数列为等差数列，，由得数列的前项的和最小，根据等差数列的性质，可得：
数列为递增数列，且，，，.
对A：，故A正确；
对B：因为，所以，所以是公差为的等差数列，故B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：若，则，，则不存在，使得，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】对A：当时，，，
则，
由；由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以有且只有一个零点，故A正确；
对B：当时，，所以，
由；由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，因为，所以，且当和时，，
所以函数有两个零点，故B正确；
对C：当时，，，设，则，
因为，所以，
即在上单调递增，且，所以在上无零点.
所以时，不存在正数使得，故C错误；
对D：当时，由；
由.
设，.
因为，由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.且.
因为，由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.且.
作出函数，的图形如下：
可知：当时，与零点个数相同，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，来自丙生产线为事件，抽到的产品为次品时事件，
则，，，
，，.
所以.
13．【答案】
【详解】因为，所以.
由或.
所以函数的单调减区间为和.
又函数在上单调递减，
所以或.
解得：.
14．【答案】4
【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．
则.
所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹.
15．【答案】(1)0
(2)
【详解】（1）因为，，
所以；
（2）令得，，
令得，.
两式相加得：；
两式相减得：.
所以.
16．【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）.
因为，
所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7.
（2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：，
由题意，，所以.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，当时，用代替得：
，
两式相减得：.
所以.
又时，，上式也成立.
所以数列的通项公式为.
（2）由题意：，
所以，
因为，所以，
且.
所以.
18．【答案】(1)18
(2)分布列见解析；
(3)
【详解】（1）因为书包是同种品牌和型号，只有颜色的差别.
从中选3只，颜色都不同，分给3位同学，不同的安排方法有种；
从中选3只，2只黄色，1只红色，分给3位同学，不同的安排方法有种；
从中选3只，2只红色，1只黄色，分给3位同学，不同的安排方法有种；
从中选3只，2只红色，1只蓝色，分给3位同学，不同的安排方法有种；
从中选3只，2只黄色，1只蓝色，分给3位同学，不同的安排方法有种；
所以不同的安排总数为：种.
（2）的值可以为：，
且，，.
所以的分布列为：
所以.
（3）设取下一个“黄色书包”为事件，取下一个“红色书包”为事件，取下一个“蓝色书包”为事件，事件为取下两个书包，则.
则，，，，.
所以李老师取下后随机放回，书包还是按照原来颜色顺序排列的概率为：
19．【答案】(1)不是；答案见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）不是，
理由如下：
，，
，
因为，
由正弦函数的值域可得不恒大于等于零，
所以不为区间上的“绝对正函数”
（2）（i）时，，，
由题意可得在恒成立，
等价于恒成立.
设，则，解得或，
即或，
所以的“绝对正区间”为.
（ii）若对恒成立，即对恒成立，
因为定义域为，所以等价于恒成立.
令，则，
当时，易得恒成立，即在为递增函数，
所以，解得；
当时，令，
所以当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以，
令，则，
当时，，为减函数，
所以，所以当时不成立，
综上，若对恒成立，的取值范围为.
0
1
2