河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

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1.复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
2.已知向量，若，则（ ）
A. -3B. 0C. 3D. 4
3.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（）
A. 3B. 7C. 9D. 21
6.已知复数满足（ i为虚数单位），则（ ）
A. 1B. C. iD.
7.若向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据：.
A. 米B. 米C. 300米D. 米
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标 .
13.在 ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝ ．
14.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设，复数.
(1)若复数是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
在中，角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的大小；
(2)已知，证明：是等腰三角形.
17.(本小题15分)
如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
(1)当时，求该艺术品的体积；
(2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？
18.(本小题17分)
如图，在梯形中，，，，为的中点，.
(1)用向量和表示；
(2)若，求的值；
(3)若，当为何值时，最小?
19.(本小题17分)
已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-bc.
(1)求A;
(2)若ABC是锐角三角形,且b=2,求ABC的周长的取值范围;
(3)若b=3,c=2,等边DEF的顶点D,E,F分别在边AB,BC,CA上(不含端点),求DEF的面积的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
又复数是纯虚数，所以，
解得.
（2）复数z在复平面内对应的点为，
又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得，即实数m的取值范围是.

16.【答案】解：（1）在中，由及正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由及正弦定理得，
由（1）知，所以，即，
所以是等腰三角形.

17.【答案】解：(1) 当a=时, 设圆柱的半径为r, 则=, 解得r=1.
此时该艺术品的体积为V=5-=；
(2) 设圆柱的半径为r, 则=, 解得r=3-a(0< a