2025--2026学年河南南阳市方城县第一高级中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南南阳市方城县第一高级中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. 0D.
2. 已知角的终边上有一点，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
3. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A. 3B.
C. D. 3
6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角
B. 若为第二象限角，则为第四象限角
C. 终边经过点的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为，圆心角所对应的弦长为，则此扇形的面积为
10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与共线
C. 若，则
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A. B.
C. 当实数变化时，的最小值是D. 若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，则__________.
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____
14. 函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知终边上一点Px,3(x≠0) ，且 ，求的值.
（2）已知角的终边过点 ，求的值.
16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
18. 设分别为三个内角的对边，且
（1）求角的大小；
（2）已知，，求的面积.
19. 已知函数，其中.
（1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值；
（2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
数学
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. 0D.
答案：C
解析：
解答过程：，
，
.
2. 已知角的终边上有一点，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
答案：B
解析：
思路：由三角函数定义及诱导公式可得答案.
解答过程：由三角函数的定义，有.
由诱导公式，.
故选：B.
3. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：判断得到为最大角，利用余弦定理表示出，把三边长代入求出的值，即可确定出的度数．
解答过程：设1，4，所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角，则最大角为C，
则，,则该三角形最大内角为．
故选：B．
4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解.
解答过程：由向量和满足，，，
可得，解得，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：A.
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A. 3B.
C. D. 3
答案：C
解析：
思路：由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；
解答过程：因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选：C.
6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案.
解答过程：因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
所以函数与的周期相等，
则函数的周期，即，所以，
则，
令，故，
令，则，
故，解得，
因为，所以．
故选：D．
7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解.
解答过程：以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则
故
,当时取到等号，
故选：B
8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
答案：B
解析：
思路：先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值.
解答过程：平方去绝对值号，由，则，
根据向量与的条件可得，
化简可得，
令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.
观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，
即，
又，
则的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角
B. 若为第二象限角，则为第四象限角
C. 终边经过点的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为，圆心角所对应的弦长为，则此扇形的面积为
答案：BD
解析：
思路：对于A，取内角为直角时，即可判断出正误；对于B，根据条件可得，，即可求解；对于C，分和两种情况讨论角的集合，即可求解；对于D，根据条件得到，再利用扇形的面积公式，即可求解.
解答过程：对于选项A，当三角形其中一个内角为直角时，该角终边不在任何象限，故选项A错误，
对于选项B，因为为第二象限角，所以，，
所以，，则，，
所以为第四象限角，故选项B正确，
对于选项C，当时，终边经过点的角的集合是，
当时，终边经过点的角的集合是，故选项C错误，
对于选项D，由题意可得，扇形的半径，所以扇形面积为，故选项D正确，
故选：BD.
10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则与共线
C. 若，则
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
答案：BC
解析：
思路：对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线
解答过程：当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误；
若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确；
若，两边平方得，，即，C正确；
若因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确.
故选：BC
11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A. B.
C. 当实数变化时，的最小值是D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假.
解答过程：由.得.解得（舍去）或.
因为、均为单位向量.则，故正确.
，故错误.
，当且仅当时取等号，故正确.
由.则，所以，整理得，即.故正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知，则__________.
答案：
解析：
解答过程：在中，，.
又，
由正弦定理，得
.
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____
答案：
解析：
思路：借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得.
解答过程：因为，且，，
故，则由余弦定理可得，
又，故.
14. 函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________.
答案：
解析：
思路：根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。
解答过程：由图可知是“五点作图”的第一个最大值点，
所以且..
显然，从到经过了的一个完整周期，其中.
则，,
,代入得.
...
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知终边上一点Px,3(x≠0) ，且 ，求的值.
（2）已知角的终边过点 ，求的值.
答案：（1）（2）若，则；若，则．
解析：
思路：（1）利用三角函数定义，由终边上点的坐标表示出，与已知条件联立方程解得，再代入定义式求出；
（2）先由点的坐标算出，依据的符号分类讨论以确定角所在的象限和三角函数的正负号，再由定义求出和的值，最后代入给定的线性表达式完成计算.
解答过程：（1）由题意知，由三角函数定义得．
又,
，，,
所以．
（2），
①若，则，角是第二象限角，
所以，所以．
②若，则，角是第四象限角，所以．
所以．
综上，若，则；若，则．
16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可；
（3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可.
（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在实数使得，即，
又因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
若，，则.
（3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，
设，则，由（2）得，
所以，解得，
所以.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式；
（2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
（1）由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
18. 设分别为三个内角的对边，且
（1）求角的大小；
（2）已知，，求的面积.
答案：（1）；
（2）解析：
（1）因为，
根据余弦定理可得，即，
所以代入可得，
化简可得，
由正弦定理可得2sinBcsC=sinAcsC+sinCcsA=sinA+C=sinπ−B=sinB ，
因为是的内角，所以，即，
因为，所以.
（2）因为，，，
由余弦定理可得，
代入可得，化简可得，即，
因为，所以，
因此.
19. 已知函数，其中.
（1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值；
（2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
思路：（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出的最小正周期，再代入周期公式求解.
（2）先通过平移变换得到的解析式，利用零点条件结合确定，再求出的所有零点，结合恰有8个零点的条件，找到区间的最小长度.
（3）分别求出和在上的值域，根据“任意存在使得”等价于的值域包含于的值域，列不等式组求解的取值范围.
（1）因为两个相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，
所以，得.
（2）由题意可得，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以，，或，，
得，或，，
因为，所以，
所以.
所以的最小正周期为.
令，则，
所以，或，，
得，或，.
因为函数在（且）上恰好有8个零点，
要使最小，需找到跨度最小的连续个零点.
的零点为，或，.
通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度，
区间的长度为，
区间的长度为，
所以的最小值为.
（3）由（2）知，
设在上的值域为A，在上的值域为B，
因为对任意，存在，使得成立，
所以.
当时，，所以，
所以，所以.
当时，，所以，
所以，，所以，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为.