2025--2026学年河南南阳市方城县第一高级中学高二下册期中模拟数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南南阳市方城县第一高级中学高二下册期中模拟数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
2. 设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系
B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
C. 在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
5. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ）
（参考：：计算结果精确到分）
A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元
B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元
D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等差数列
C. 数列的通项公式为D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本点的中心．
B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1．
C. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点．
D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知函数满足：，且，则
B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 已知，则
D. 直线上的点到曲线距离的最小值为
11. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项
C. D. 满足的的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等比数列的前项和为，若，则______.
13. 已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．
14. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）求曲线在处切线的方程；
（2）已知（为自然对数的底数），gx=lnx+2 ，若直线是与的公切线，求的方程；
16. 数列的前项和为，；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
17. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程.
（2）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
18. 已知满足，且
（1）求和；
（2）求的前项的和；
（3）若，求.
19. 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题：
（1）对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
（2）在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明.（注：当时，恒成立，无需证明）
数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用自然对数和常数求导即可求解.
解答过程：求导得：，
故选：A.
2. 设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可
解答过程：若，且，则，
所以，
反之，若，则，
所以，且或，且，
所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件.
故选：A
3. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；
解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.
解答过程：解法一：因为等比数列的前n项和为，，
则公比，否则，，，不符题意；
所以，解得，
所以．
所以．
解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，
则，即，
求得，故，所以．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系
B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
C. 在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
答案：D
解析：
思路：根据独立性检验、线性相关系数、线性回归方程求解判断即可.
解答过程：对于A：若，且，则根据小概率值的独立性检验，拒绝原假设，
认为两个分类变量有关系，A错误.
对于B：线性相关系数的取值范围为，当所有样本点都在直线上，说明是完全负线性相关，
此时线性相关系数，B错误.
对于C：回归直线是预测值，当时，，为预测值，所以变量的值可能不等于15，C错误.
对于D，由，两边取自然对数，且，若线性回归方程为，
则，即，的值分别是和，故D正确.
5. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：
思路：根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
解答过程：因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B
6. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ）
（参考：：计算结果精确到分）
A. 等额本息方案，每月还款金额为10196.07元
B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C. 等额本金方案，所有的利息和为2340元
D. 等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
答案：D
解析：
思路：A选项，设第个月贷款利息为，偿还本金为，得到数列是以为公比的递增等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，B正确；C选项，利息和为；D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案.
解答过程：对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为，
则，，
则，
，
则，
同理得，，……，，
所以数列是以为公比的递增等比数列，
则有，得，
所以每月还款的本息和为，
所以A正确;
对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元，
本息和应为10030元，故B正确；
对于C，利息和为（元），
故C正确；
对于D， 由A知等额本息还款利息和为
，
两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，
还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，
高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，
故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.
故选：D.
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他是这样算的:，共有50组，所以，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数的图象关于点对称，为数列的前项和，则下列结论中，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
思路：对于A，利用函数的中心对称性公式即可求解；
对于B，利用倒序相加法求和及A选项的结论即可求解；
对于C，利用B选项的结论及与的关系，结合等差数列的前项和公式即可求解；
对于D，利用B选项的结论及裂项相消法求和即可求解.
解答过程：对于A，因为函数的图象关于点对称，所以，令，
所以，故A正确；
对于B，因为
所以
因为，所以即，故B正确；
对于C，由题可知，当时，，当时，，取时，，满足此式，
故的通项公式为.所以，
而，所以.故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
因为，所以，即，故D正确.
故选：C.
8. 已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等差数列
C. 数列的通项公式为D.
答案：B
解析：
思路：借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D.
解答过程：对A、B：由，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误；
对C：，则，故C正确；
对D：，
则，故D正确.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本点的中心．
B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1．
C. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点．
D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中）．
答案：ABC
解析：
思路：根据线性回归方程及线性相关定义判断AB；结合已知条件求出均值及去除异常点后新的均值，即可判断C；根据卡方的计算判断D.
解答过程：对于A，回归直线恒过样本点的中心，故A正确；
对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，故B正确；
对于C，回归直线方程为，当时，，
所以，，即，，
去除一个异常点后，，，可得新的均值为，，
即新的回归直线必过点，故C正确；
对于D，若每一个数据均变为原来的3倍，
则
，故D错误.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知函数满足：，且，则
B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 已知，则
D. 直线上的点到曲线距离的最小值为
答案：ABC
解析：
思路：求出导函数应用赋值法计算判断A，特殊函数计算判断B，应用导数定义及运算律判断C，应用切线求出距离的最小值判断D.
解答过程：对于A，由于，两边求导，得，
令，分别得，，
由，可得，所以，故选项A正确；
对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，
例如函数，在处的切线为，该切线与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确；
对于C，f′x=x2−2xx+1x4，故，
所以limh→0f(2+3h)−f(2−2h)2h=123limh→0f(2+3h)−f(2)3h+2limh→0f(2)−f(2−2h)2h，
=123f′2+2f′2=52f′2=52×−12=−54，故选项C正确；
对于D，由函数 得，
令，解得，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，
又由直线与之间的距离为，
即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误.
11. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项
C. D. 满足的的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：由得出，代入与，对选项依次判断即可.
解答过程：∵，∴，∴，∴，
∴，
，
对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确；
对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，∵，∴，解得，
∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等比数列的前项和为，若，则______.
答案：
解析：
思路：根据等比数列前项和公式特征求解即可.
解答过程：设等比数列公比为，则，
即等比数列的前项和要满足，
又因为，所以.
故
13. 已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：由题可得且，即可求解.
解答过程：根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且，
所以且，解得．
故答案为.
14. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为______．
答案：
解析：
思路：对已知递推式进行化简求出，进而求出及，再结合已知条件构造不等式求解．
解答过程：由，则，即，
又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，故，
∴a1a2⋯an=13×24×35×⋯×nn+2=2n+1n+2=2n+1−2n+2，
∴a1+a1a2+a1a2a3+⋯+a1a2⋯an=22−23+23−24+⋯+2n+1−2n+2=1−2n+2，
令，解得，
正整数的最大值为．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）求曲线在处切线的方程；
（2）已知（为自然对数的底数），，若直线是与的公切线，求的方程；
答案：（1）；（2）或.
解析：
思路：（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程；
（2）分别设出切点，求出导函数进而得出切线斜率，得出两函数的切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程.
解答过程：（1）y=x2x−3=x3−3x2，则，
时，，，
所求切线方程为，即；
（2）设与的切点 又
切线方程为：，即①
设与gx=lnx+2 切点为x2,lnx2+2 g'x=1x,∴g'x2=1x2
切线方程为：y−lnx2+2=1x2x−x2，即y=1x2x+lnx2+1 ②
由题知，①，②都是的方程，则有ex1=1x2−x1ex1+ex1=lnx2+1 ，
消去得，
即，解得或，
当时切线方程为 ，当时切线方程为，
综上，直线的方程为或.
16. 数列的前项和为，；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可；
（2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可.
（1）因为，
当时，则；
当时，则，
可得；
综上所述.
（2）因为，
当时，；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，；当时，.
当时，则；
当时，则
；
综上所述.
17. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程.
（2）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
答案：（1）更适合， （2）不能
解析：
思路：（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解；
（2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解.
（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型，
由，得到，因为，则，
则，所以，则.
（2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联.
18. 已知满足，且
（1）求和；
（2）求的前项的和；
（3）若，求.
答案：（1）,
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用递推关系，得出，结合等比数列通项公式可得，再利用递推可求；
（2）利用分组求和的方法分奇数项和偶数项讨论即可求得答案；
（3）先分组，结合错位相减法可得答案.
（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，，
于是：，，故，
即，
数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以.
.
（2）奇数项的和：，
偶数项的和：，
所以.
（3），
，，则.
，，
两式相减可得，
.
所以.
19. 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题：
（1）对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
（2）在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明.（注：当时，恒成立，无需证明）
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）结合导数的几何意义分别求出函数，在时的切线方程，由此可求，再利用错位相减法求；
（2）结合导数的几何意义证明，由此可得，证明为等比数列，结合所给结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论.
（1）由题意则.
设切点为
则过切点的切线为
令，整理得，
所以.
由题意则.
设切点为则过切点的切线为.
令整理得
所以.
对于当是正奇数时；当是正偶数时即
.
所以
两式相减，得
所以.
（2）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即，
因为
所以.
因为所以所以.
令则，又
所以，
数列是公比为2的等比数列.
.
由因为所以即.
方法提示：关键点点睛：本题考查导数的几何意义，数列求和，证明不等式，第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程，进一步求出，利用错位相减法求和，第二问解决的关键在于结合所给结论，通过适当放缩，证明结论.
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
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