2025--2026学年江苏省响水中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省响水中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 41B. 61C. 62D. 82
2. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
3. 在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE靠近点B的三等分点，则＝（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 随机变量X的方差，期望，则
B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009
D. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元
5. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A. B. C. D. 1485
7. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ）
A. 2026B. 2027C. 2028D. 2029
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立D. 若，则
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则最小值为
B. 若平面，则，
C. 若，则P到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________．
13. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为__________．
14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 用五个数字，问：
（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
16. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由；
（2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，（结果精确到）．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，点为重心.
（1）求证：面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
18. 某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．
（1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
19. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离.
数学
满分150分，考试时间为120分钟.
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 41B. 61C. 62D. 82
答案：B
解析：
思路：利用排列数和组合数公式计算即可.
解答过程.
故选：B.
2. 若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
答案：B
解析：
思路：由概率和为1可得值．
解答过程：由题意，解得．
故选：B．
3. 在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE靠近点B的三等分点，则＝（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：先放到三角形中解决，然后用共线向量转化成，然后在三角形中解决.
解答过程：在四面体ABCD中，E是CD的中点，G是BE的靠近点B的三等分点，则
故选：C.
4. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 随机变量X的方差，期望，则
B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009
D. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元
答案：A
解析：
思路：利用方差与期望值的关系式可得A错误，相关系数表示两个变量之间没有线性相关关系，根据残差定义直接代入计算可判断C正确，求出回归方程将代入计算可得结果.
解答过程：由方差，期望，则，可得，因此A错误；
当相关系数时，表示两个变量之间没有线性相关关系，即B正确；
易知残差为，所以C正确；
对于D，显然，
因此可得，解得；
当广告投入为10万元时,收益的预测值为，因此D正确.
5. 甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据全概率公式进行求解即可.
解答过程：设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有：，
所以，
故选：B
6. 在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A. B. C. D. 1485
答案：A
解析：
思路：由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案.
解答过程：解：，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故选：A．
7. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可.
解答过程：根据题意可作图，
因为点是棱的中点，所以,
因为，所以,
则,
由题意，都是等边三角形，
所以，
故
故选：A.
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（ ）
A. 2026B. 2027C. 2028D. 2029
答案：D
解析：
思路：利用二项式定理可证明被10除的余数为9，再对选项进行检验即可.
解答过程：因，
而
，
因此被10除的余数为9，
又因为，所以被10除的余数为9，
经检验在各选项中，只有2029被10除的余数为9，故的值可以是2029.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则B. 若与相互独立，则
C. 若，则与相互独立D. 若，则
答案：BC
解析：
思路：由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可.
解答过程：对于A：，A错；
对于B：，，B对，
对于C：由，，可得，所以与相互独立，所以与相互独立，C对，
对于D：由，可得，
所以，D错，
故选：BC
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：根据二项式定理的展开式，将x进行赋值即可计算ABC选项，对于D选项，利用求导后的式子赋值进行计算．
解答过程：因为，
令，代入可得：，故A正确；
令，代入可得：；
令，代入可得：；
(1)式与(2)式相加即可得：，
解得，故B正确；
令，代入可得：，
故，故C错误；
对两边求导可得：
，令，
可得，
将(1)式与(3)式相加即可得，故D正确．
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则最小值为
B. 若平面，则，
C. 若，则P到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
答案：ACD
解析：
思路：根据空间向量法计算线面平行结合基本不等式计算判断A，应用线面垂直的向量表示计算判断B，根据点到平面距离公式计算求解判断C，应用线面角公式计算判断D.
解答过程：如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，，，，，，
则，，，
对于A：，，．
设平面的一个法向量为，则有，令，则，故．
因为，平面，
所以，得，又因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确；
对于B：，则，
若平面，则有，即，
解得，，故B错误；
对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确；
对于D：，当，时，，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确．
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________．
答案：##
解析：
思路：利用正态密度曲线的对称性可求出的值，进而得出，再将与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
解答过程：因为随机变量满足，,，
由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足，
故，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
13. 在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为__________．
答案：
解析：
思路：由题意利用二项式系数的性质，求出n，利用二项展开式的通项公式，求出有理项，再利用互不相邻的排列问题求法，求出有理项都互不相邻的概率．
解答过程：在二项式的展开式中，二项式系数的和为，
∴，
即的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，7，8．
故展开式共有9项，当，4，8时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有，
故有理项都互不相邻的概率为．
故．
14. 在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______.
答案：
解析：
思路：以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值.
解答过程：以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设点，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，
因为平面，则，即，
所以，
因为，则当时，取最小值，
即的最小值为.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 用五个数字，问：
（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
答案：（1）120 （2）96
（3）32
解析：
思路：（1）直接全排列即可得答案；
（2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答案；
（3）分0在个位、在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案.
（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个；
（2）首位不能为0，则有个；
（3）由题意，是偶数个位数必须是.
分3种情况讨论：
①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有；
②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法；
③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况.
16. 《我爱古诗词》是某卫视推出的大型传统文化竞技类节目，旨在弘扬中华诗词文化、考验选手诗词储备与临场应变能力．某机构为了解大学生喜欢《我爱古诗词》是否与性别有关，对某校名大学生进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，并说明理由；
（2）已知在参与问卷调查的大学生中有名是大一学生，其中名喜欢《我爱古诗词》．现从这名大一学生中随机抽取人，设抽到喜欢《我爱古诗词》的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，（结果精确到）．
答案：（1）在犯错误的概率不超过的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关，理由见解析．
（2）的分布列为
．
解析：
思路：（1）提出零假设，利用卡方公式计算的值，再与临界值比较后即得结论；
（2）先确定的可能取值为，再结合超几何分布概率公式分别计算概率，列出分布列并用期望公式计算即可．
（1）零假设：喜欢《我爱古诗词》与性别无关
由题意可得，
所以零假设不成立，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能认为喜欢《我爱古诗词》与性别有关．
（2）由题意可得，的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，点为重心.
（1）求证：面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）．
解析：
思路：（1）连接交于D，连接，由面面平行的判定定理可得平面平面，进而证得面；
（2）以为坐标原点建立空间坐标系，利用坐标分别求出平面的法向量，利用公式代入计算可得二面角的平面角的余弦值．
解答过程：（1）连接交于D，连接
因为为重心，所以为的中点，
显然，平面，平面，则平面;
,平面，平面，则平面，且，
所以平面平面，因为平面，所以面.
（2）以为坐标原点建立空间坐标系如图，
，，，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，计算得，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，计算得，
令平而与平面所成角为，则
观察得为锐角，所以．
18. 某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．
（1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）可得击中目标的总次数，即可求出；
（2）可得的所有可能取值为0，10，20，30，50，求出取不同值的概率即可得出分布列和期望.
（1）设X为射手射击3次击中目标的总次数，则．
故．
（2）由题意可知，的所有可能取值为0，10，20，30，50，
则，，
，，
．
故ξ的分布列是：
.
19. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离.
答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）解析：
思路：（1）取的中点，根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证.
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解.
（3）求出及平面的法向量，结合点到平面的距离公式列式求解.
（1）取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形，
由，得平行四边形为矩形，则，
由平面平面，平面平面，平面，得平面.
又平面，则，由，，得，
由，，得，则，即，
而，平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）由，，，平面，
得平面，平面，则，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设与平面所成角为，，
即与平面所成角的正弦值为.
（3）设截面交于，由，面，面，得平面，
又平面，平面平面，则，
依题意，，则，
设，则，
，
，，
到的距离，
截面的面积为，
设平面的法向量，
则，取，得，
则到平面的距离，
于是，解得，
所以点到截面的距离为.
方法提示：方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
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