2023-2024学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市响水中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆:,其焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为椭圆:,化简为:,可得,即可求得答案.
【详解】 椭圆:,化简为:

根据:
可得:,故
的焦点为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了求椭圆焦点坐标,解题关键是掌握椭圆方程定义和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．已知直线，．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】当两直线斜率存在时，利用斜率之积等于得解
【详解】，解得
故选：B
3．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．184斤D．201斤
【答案】C
【分析】首先根据题意设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可.
【详解】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列为公差为的等差数列.
因为绵的总数为斤，
所以，解得.
故选：C.
4．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，
由于双曲线的渐近线方程为，
所以，即，
所以.
故选：A
5．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即可得出答案.
【详解】，
，
令，则，
，
则，

故选：D.
6．过点引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（ ）

A．±1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知当且仅当时，面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】因为圆的圆心，半径，
可知面积，
当且仅当，即时，等号成立，
此时圆心到直线的距离为，
由题意可设直线的斜率为，则直线方程为，即，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选：C．
7．若正项数列中，，，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的递推式, 可得 ,, 猜想,利用数学归纳法可证明结论，即可得出答案.
【详解】,
在正项数列 中, 当 时, , 解得 ,
当 时, , 解得 ,
猜想 ,
证明: 当 时, 显然成立;
假设 时, ,
则当 时,
.
故 时, 结论也成立.
故 ,
故选: C.
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论，画出图像，利用的几何意义，转化求解即可.
【详解】当时，，双曲线第一象限部分，
当时，，椭圆第四象限部分，
当时，，双曲线第三象限部分，
当时，，不存在；
其图像如下：
又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍，
两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为，
由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大，
设切线为，
联立，可得，
，解得，（舍去），
所以最大值为，
则的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆
D．若，则是椭圆，其焦点在轴上
【答案】AD
【分析】把已知方程变形，结合四个选项中的条件依次判断得答案．
【详解】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确；
对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误；
对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误；
对于D：若，则可化为，
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确；
故选：AD
10．设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则既是等差数列又是等比数列
B．若（A，B为常数），则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若是等比数列，则也成等比数列
【答案】BC
【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据与之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断.
【详解】对于选项A: 因为，即，可知数列是等差数列，
当时，数列不是等比数列，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，；
当时，；
可知时，符合上式，
综上所述：，
可得，所以数列是等差数列，故B正确；
对于选项C: 因为，
当时，；
当时，；
可知时，符合上式，
综上所述：，
可得，所以数列是等比数列，故C正确；
对于选项D: 当数列是等比数列时，取，则，
此时显然，，不是等比数列，故D错误；
故选：BC.
11．已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
A．当时，
B．当时，在点处的切线方程为
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】当时，求出判断A；
设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B；
利用抛物线的定义转化求解的最小值可判断C；
根据三角形两边之差小于第三边判断D．
【详解】因为抛物线，所以准线的方程是.
对于，当时，，此时，故A正确;
对于B，当时，，令切线方程为:，与联立得，
令，解得，即切线方程为:，即，故B错误;
对于C，过点分别作准线的垂线，垂足为
则，所以的最小值为故C正确.
对于D，因为焦点，所以，
所以的最大值为故D正确.
故选：ACD
12．为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）．已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据数列新定义可得，结合已知确定通项公式，进而逐项判断正误.
【详解】由“等积数列”定义得：，即，
∴数列奇数项相同，偶数项相同，
又∵，，
∴当为奇数时，，
当为偶数时，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确；
对于D，当为奇数时，，满足，
当为偶数时，，满足，D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．曲线在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
则当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
14．已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得，再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，则，
设的纵坐标为，由条件可得，
则，
所以，即，
整理可得：，解得.
故答案为：
15．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ．
【答案】
【分析】分析可知，位于第行第项，根据题意得出，，再根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值.
【详解】第行最后一项为，第行最后一项为，第行最后一项为，，
以此类推可知，第行最后一项为，
因为，所以，位于第行第项，
由题意可知，，则①，
，②，
由①②可得，.
故答案为：.
四、双空题
16．已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ．
【答案】 /4.8
【分析】由条件确定圆O，圆N的圆心坐标和半径，由此发现，根据等面积法求，联立两圆方程，求出A的坐标，设直线的方程，由结合弦长公式求直线的斜率.
【详解】
根据题意，圆：，圆心，半径为3，
圆，圆心，半径为4，
则，，，易知，
根据等面积法可得；
联立两个圆方程，得，
在第二象限，可得，易知直线的斜率存在，
设直线的方程是，即，
因为，
所以，
解得：.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题的第一空关键是通过数形结合发现，从而即可利用等面积法求解，第二问的关键是先求出的坐标，然后设出直线的方程，利用弦长公式即可求解.
五、解答题
17．在平面直角坐标系中，设直线：．
(1)求证：直线经过第一象限；
(2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将直线化为，即可得到结果；
（2）根据题意，由，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.
【详解】（1）方程可化为，
由解得
所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限．
（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，则，所以直线的方程为，
即．
18．已知数列满足：，，设．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用定义法证明；
（2）借助等比数列通项公式，再求数列的通项公式；
（3）错位相减求数列的前项和.
【详解】（1）由，，可得，
因为，即，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列．
（2）由（1）可得：，即，所以．
（3）由（2）可知：，
则，
可得，
上面两式相减可得：，
所以．
19．在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心C在直线上．

(1)若圆心C也在直线上，过点A作的切线，求切线的方程；
(2)若上存在点M，使得，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求得圆心，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；
（2）可设圆心 ，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有，解之可得的取值范围.
【详解】（1）由题设，知圆心C是直线和的交点，
联立方程，解得，即两直线的交点坐标为，
所以点C的坐标为，圆C的方程为，
当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，不满足条件；
当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意得，解得，
所以切线方程为或；
综上所述：所求切线方程为或.
（2）因为圆心C在直线上，所以设点C的坐标为，
圆C的方程为，
设点，因为，
所以，
化简得，即，
所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点在圆C上，
所以圆C与圆D有公共点，
则，即，解得，
所以圆心C的横坐标的取值范围为.
20．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若，求的面积；
(3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据题意可得，进而可求和椭圆标准方程；
（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为；
（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样的B点不存在．
【详解】（1）由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
令，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上.
21．已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法，结合构造新数列，利用作差比较法判断新数列的单调性，进而利用新数列的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为数列的前项和满足，
当时，，
两式相减得：，即，
当时，，解得：，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）可知：，
所以 ，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，
设，因为，
所以单调递减，则，所以，则，
所以实数的取值范围是．
22．已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q．
(1)判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
(2)过点P作的垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值．
【答案】(1)线段的垂直平分线过定点
(2)
【分析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.
（2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于.
设直线PQ的方程为，.
由消去并化简得，
由得，，则，
解得，所以，
在中，令得，所以，
PQ中点为，所以线段PQ的中垂线方程为，
即，所以线段的垂直平分线过定点.
（2）由（1）可知，直线PM的方程为，即.
由消去并化简得：，
所以，而，所以得，
，，
.
所以的面积，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.