2025--2026学年江苏省清江中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省清江中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知，则等于， 已知，，若，则x的值为，625B， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则等于（ ）
A. 1B. 3C. 1或4D. 1或3
2. 已知，，若，则x的值为（ ）
A. 7B. -8C. 6D. -5
3. 6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种
A. 240种B. 360种C. 480种D. 540种
4. 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A. 0.625B. 0.75C. 0.5D. 0
6. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个．记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ）
A. 与互斥B.
C. PA1C=13D. 与相互独立
11. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B. 四面体的外接球的表面积为
C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，，则______.
13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
14. 在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题：
（1）求的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中的系数．
16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
17. 一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球.
（1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率；
（2）若每次抽出的球不放回.
①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望；
②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率.
18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证.
数学
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则等于（ ）
A. 1B. 3C. 1或4D. 1或3
答案：D
解析：
思路：根据组合数的定义和性质分析求解.
解答过程：因为，则或，
解得或，检验可知均符合题意.
故选：D.
2. 已知，，若，则x的值为（ ）
A. 7B. -8C. 6D. -5
答案：A
解析：
思路：根据空间向量垂直的坐标运算即可求参.
解答过程：已知，，
因为，
则，.
故选：A.
3. 6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（ ）种
A. 240种B. 360种C. 480种D. 540种
答案：A
解析：
思路：按照相邻问题，采用捆绑法，即可求解.
解答过程：因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法，
将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法，
所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法.
故选：A
4. 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
思路：利用二项式的展开式，可得结论.
解答过程：的展开式为，
当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数，
故系数为有理数的项共有共有4项.
故选：D.
5. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A. 0.625B. 0.75C. 0.5D. 0
答案：A
解析：
思路：结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.
解答过程：设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件，
则，
所以，
故选：A.
6. 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可.
解答过程：根据题意可作图，
因为点是棱的中点，所以,
因为，所以,
则,
由题意，都是等边三角形，
所以，
故
故选：A.
7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解.
解答过程：设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得，，，．
因为，
所以．
故选：D．
8. 已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可.
解答过程：对函数求导得：，
又由是函数的极小值点，所以，
还需分析在附近的符号变化，令，
则，，
当时，，即在附近单调递增，又，
所以当时，，当时，，满足0是的极小值点；
当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以单调递增，此时无极小值点；
当时，，即在附近单调递减，
又，所以当时，，当时，，
此时0是的极大值点，不符合题意；
综上所述：a的取值范围为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：借助赋值法分别令、计算即可得；对C：结合B中所得，再令计算即可得；对D：借助导数结合赋值法计算即可得.
解答过程：对A：对有，
则，故A正确；
对B：令，有，令，则有，
故，故B错误；
对C：令，则有，
故，
故C错误；
对D：令，
则，
则，故D正确.
故选：AD.
10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个．记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ）
A. 与互斥B.
C. D. 与相互独立
答案：BD
解析：
解答过程：选项A：可以同时发生，不互斥，故A错误；
选项B：第二次取到红球的概率PA2=2×34×3=12，故B正确；
选项C：4个球，不放回依次取2个，总次数为：种，
两次颜色不同，分两种互斥情况：
第一次红、第二次白：种；第一次白、第二次红：种；
故事件的总次数为：种，
∴PC=812=23；
表示第一次红、第二次白，共种；
∴PA1C=412=13；
∴PA1C=PA1CPC=1323=12≠13，故C错误；
选项D：，
事件为“两次取到的球颜色相同”，分两种情况：
两次都是红球：种；两次都是白球：种；
故事件的总次数为：种，
∴PB=412=13，
事件表示第一次红球、第二次红球，共2种，则PA1B=212=16；
∵PA1⋅PB=12×13=16=PA1B，满足独立事件定义，
与相互独立，故D正确．
11. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱AB，的中点，则（ ）
A. 三个向量，，不可以构成空间的一组基底
B. 四面体的外接球的表面积为
C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
答案：ABC
解析：
思路：建系，由共面向量的坐标表示可判断A，确定球心位置，由距离公式求得球心坐标即可判断B，由点到面的向量距离公式即可判断C，由线面夹角的向量公式即可判断D.
解答过程：
对于A：如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
故，
若向量，，共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得：，
所以向量，，共面，
所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故A正确；
对于B：由，可知其中点坐标为，
因为三角形为直角三角形，所以其外接圆圆心坐标为，
由球的性质可知，球心一定在过且与坐标面垂直的直线上，
所以可设球心坐标为，
则由可得： ，
解得：，
所以球的半径为：，
所以四面体的外接球的表面积为正确；
对于C，设正方体内切球的球心为，则，，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以点到平面的距离，
又正方体内切球得半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故C正确.
对于D，直线与平面所成角的余弦值为，
，设平面的法向量为，
则，即，
令，可得：，
即，又，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以.故D错；
故选：ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，，则______.
答案：##
解析：
思路：根据二项分布的期望公式和方差公式求解.
解答过程：因为随机变量，
所以，，
联立解得
故
13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
答案：
解析：
思路：据题意可知将问题转化为在上恒成立，利用导函数求出函数的最小值即可得实数a的取值范围.
解答过程：由可得，
因为函数在区间上单调递增
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以
令，则，
显然当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
所以在时取得最小值，即；
所以，即实数a的取值范围是.
14. 在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为__________.
答案：
解析：
思路：分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为.
解答过程：
如图，连接，取中点，中点，中点，
因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上.
可求得，所以，所以.
又知，所以.
又，直线和直线都在平面内，
所以平面，从而点在线段上.
易得，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，
设为，则.
设的最小值为点到的距离为，取得最小时，
易得与相似，可知，所以，又，
所以的最大值为.
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题：
（1）求的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中的系数．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）利用已知条件求出，进而得出通项公式，令，求出，进而求出常数项；
（2）由（1）知，问题转化为求2+3x2x+2x6=2x+2x6+3x2x+2x6中的系数，结合通项公式分别求出和的项，进而求解．
（1）已知二项式系数和为64，则，解得，
此时的通项为Tr+1=C6rx6−r2xr=C6r⋅2r⋅x6−2r，
令，解得，
常数项为．
（2）由（1）知，2+3x2x+2x6=2x+2x6+3x2x+2x6，
展开式得的通项公式为，
，即，则展开式中含的项为： ，
，即，则展开式中含的项为C61⋅21⋅x4=12x4，
2+3x2x+2x6展开式中含的项为，故其系数为．
16. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
答案：（1）81； （2）36；
（3）解析：
思路：（1）根据分步乘法计数原理可解；
（2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可；
（3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解．
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．
17. 一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球.
（1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率；
（2）若每次抽出的球不放回.
①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望；
②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率.
答案：（1）
（2）①分布列见解析，数学期望；②
解析：
思路：（1）根据独立重复试验概率问题的求解方法可求得结果；
（2）①首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
②根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果.
（1）若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为，
则随机抽取次，恰有次抽取到黑球的概率.
（2）①由题意知：所有可能的取值为，
；
；
；
的分布列为：
数学期望.
②记事件为“抽取到个黑球与个白球”，事件为“第次抽到黑球”，
则事件为“第次和第次抽到白球，第次抽到黑球”；
，，，
即在抽取到个黑球与个白球的前提下，第次抽到黑球的概率为.
18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
（1）连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
[方法二：等体积法]

辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证.
答案：（1）极大值为,极小值为.
（2）(i) ；(ii)证明见解析.
解析：
思路：(1)先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.
(2) (i)先把 化为，则除1外还有两个零点，通过求导讨论的单调性，当时， 在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调，可求出实数满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合题意的实数的取值范围；(ii) 由题意得，结合(i)可知，再用基本不等式证明结论.
（1）当时，，定义域为.
，
令，得或；
令，得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，当时，有极大值，并且极大值为,
当时，有极小值，并且极小值为,
（2）(i)，
，，则除1外还有两个零点，
，
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去.
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以，
当或时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点,
综上，实数a的取值范围为.
(ii)证明:因为，
所以若，则，所以，，
又，所以，
，当且仅当时不等式取等号.
所以.
方法提示：方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．