2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学秦淮科技高级中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学秦淮科技高级中学高二（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算=（ ）
A. 42B. 36C. 21D. 20
2.若（x-）6展开式中的常数项为60，则a=（ ）
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
3.已知点A、B、C不共线，O为平面ABC外一点，下列能够确定M、A、B、C四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P（B）=（ ）
A. B. C. D.
5.现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 150B. 180C. 360D. 540
6.已知Y服从正态分布N（2，22），记函数f（x）=P（x≤Y≤x+2），g（x）=P（Y≥x），则正确的是（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.68，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.95（ ）
A. f（2）≈0.68B. g（0）=0.5
C. f（2-x）=f（2+x）D. g（x）的图象关于对称
7.已知存在x∈（0，+∞）使不等式xex-x≤lnx+2m+3成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. m≥-1D. m≤-1
8.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件A=“了解deepseek”，B=“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为X，则当P（X=k）取得最大值时的k（k∈N）值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. m=2B. a1+a2+⋯+a9=2
C. a1=-32D.
10.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD=AP=2，AB=BC=1，点E为PD的中点，点F为AC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. AC⊥EF
B. 点D到平面PAC的距离为
C. 三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC的外接球半径之比为4：3
D. PC与面ABE交于点Q则
11.甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第n次抛硬币后球在甲手中的概率为pn，球在乙手中的概率为qn，在前n次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为X，则（ ）
A. p1=4q1B. C. pn+3qn=1D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个彩票盒中装有12张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有2张，奖金为300元的二等奖彩票有3张，奖金为100元的三等奖彩票有7张，从中随机抽出3张彩票，则抽出的3张彩票的奖金总额不高于700元的概率是 .
13.已知函数f（x）=x3+mx2，若∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围为 .
14.在三棱锥P-ABC中，且AP=3PB=2PC=6，点D为BC中点，则直线AD与直线BP所成角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x2-2alnx-2（a-1）x,a∈R.
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性.
16.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，得到四棱锥A′-BCDE.
（1）证明：面A′BE⊥平面BCDE；
（2）当二面角A′-DE-C为120°时，求CA′和平面A′DE所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃.将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用X表示小球最后落入格子的号码.
（1）求X的概率分布列，并求出数学期望E（X）；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号格子得到的奖金为Y元，你觉得小明同学能盈利吗？
（其中当X=1或7时，Y=10；当X=2或6时，Y=6；当X=3或5时，Y=4；X=4时，Y=1.）
18.(本小题17分)
吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中k与n都是正整数，且k≤n.
（1）证明：，n≥2；
（2）化简：；
（3）证明：当n≥2时，.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=aln（x+1）-2sinx.
（1）若a=0，证明：当时，f（x）＞-2x；
（2）若f（x）＞0对∀x∈（0，π）恒成立，求整数a的最小值；
（3）当a∈（0，1），证明：f（x）在（0，π）上存在唯一极小值点和唯一零点.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】y=8x-3 当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增
16.【答案】由题意得，△ABD为等边三角形，
因为E为AB中点，所以DE⊥AB，
翻折后DE⊥A′E，DE⊥BE，
又A′E∩BE=E，A′E、BE⊂平面A′BE，
所以DE⊥平面A′BE，
而DE⊂平面BCDE，
所以平面A′BE⊥平面BCDE
17.【答案】
E（X）=4 小明同学不能盈利
18.【答案】证明：当n≥2，，即得证 2026•22025 证明：当n≥2时，
等式左边第一部分：
==；等式左边第二部分：
==
===n（n-1）2n-2+n2n-1=n（n+1）2n-2；综上得，
19.【答案】证明：若a=0，则f（x）=-2sinx，令g（x）=-2sinx+2x=2（x-sinx），
当时，g′（x）=2（1-csx）＞0，
所以g（x）在上单调递增，所以g（x）＞g =0，即-2sinx+2x＞0，
所以当时，f（x）＞-2x．
3；
证明：令，可得，
当a∈（0，1）时，易知φ'（x）在上递增，
而φ′ ＜0，，
所以存在，使得φ′（x0）=0，
且f′（x）在（0，x0）上单调递减，在上单调递增，
又f′ = a-2＜0，f′（x0）＜f′ ＜0，，
所以存在，使得f′（x1）=0，
f（x）在（0，x1）上递减，在上递增，
又当时，，
所以f（x）在上递增，
所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，π）上单调递增，
故x=x1是f（x）在（0，π）上的唯一极小值点；
此时f（x1）＜f =0，f（π）=aln（1+π）＞0，
所以存在x2∈（x1，π），即（0，π）上存在唯一零点x2，使得f（x2）=0 X
1
2
3
4
5
6
7
P