2025--2026学年江西省南昌市江西科技学院附属中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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1. 已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )
A. 1B. ln 2C. 2D. e
2. 已知是函数的导函数，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数是定义在R上的增函数, ,,则不等式的解集为
A. B. C. D.
7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记数列的前项和为，且，，，设，则（ ）
A. B. 数列为等比数列
C. D. 的最大值为53
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. 的导函数有且只有一个零点D. 的极值与极值点数值相等
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若恒成立，则
B. 是的极值点
C. 若恰有2个正零点，则
D. 若关于x的不等式有解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列满足，．数列的通项公式是______．
13. 函数在（a,10-）上有最大值，则实数a的取值范围是 ．
14. 已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
（1）求切线的方程；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求证：．
17. 已知函数．
（1）若，证明：在上单调递增；
（2）令，其中，若讨论函数的单调性；
18. 已知
（1）若函数在区间单调递减，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）已知对于任意，恒成立．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )
A. 1B. ln 2C. 2D. e
答案：D
解析：
思路：对函数进行求导，然后让导函数等于2，最后求出切点的横坐标.
解答过程：，
由题意可知，因此切点的横坐标为e，故选D.
方法提示：本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.
2. 已知是函数的导函数，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
解答过程：由，求导得，
所以.
3. 函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：易知函数定义域为，且，
令，即;
解得，
即函数的单调增区间为.
4. 等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意得，，化简得，
又，，即，故，
，，
故数列的前20项和为
.
5. 函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：函数在上不单调，即在内有极值点，由，结合二次函数的性质，即可求出实数的取值范围.
解答过程：，函数在上不单调，即在内有极值点，因为，且，所以有，即，解得.
故答案为D.
方法提示：本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的性质，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.
6. 已知函数是定义在R上的增函数, ,,则不等式的解集为
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：
先构造函数，再化简不等式，最后根据函数单调性解不等式.
解答过程：令，则，
因此不等式化为选A.
方法提示：本题考查利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由原式可变形为，则可构造函数，利用该函数单调性可得，再构造函数，求出最大值即可得解.
解答过程：由题可得，则由，可得，
即，则，
即有，
令，则有恒成立，
由单调递增，故，
则，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，
即实数的取值范围是.
8. 已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：利用导数判断的单调性和极值，得出方程的根分布情况，从而得出方程恰有四个不同的实数根等价于关于的方程在上有一个解，在上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出的范围.
解答过程：
，
令，解得或，
当或时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
作出的大致函数图象如图所示，
令，则当或时，关于的方程只有一个解；
当时，关于的方程有两个解；
当时，关于的方程有三个解，
恰有四个零点，
关于的方程在上有一个解，
在上有一个解，
显然不是方程的解，
关于的方程在和上各有一个解，
，解得，
即实数的取值范围是，故选B.
方法提示：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记数列的前项和为，且，，，设，则（ ）
A. B. 数列为等比数列
C. D. 的最大值为53
答案：ABD
解析：
思路：由递推公式计算可判断A，由递推公式化简可得，根据等比数列定义可判断B；结合B利用累加法及等比数列求和公式计算可判断C，根据数列的性质计算可判断D.
解答过程：，．当时，，解得，A正确．
由，得．
即，因为，
则．又，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，B正确．
由B，可得，即，
当时，
，
又符合上式，所以，C错误．
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减．
所以，
所以的最大值为，D正确．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. 的导函数有且只有一个零点D. 的极值与极值点数值相等
答案：BCD
解析：
思路：A选项，先求定义域，再根据函数奇偶性判断A错误；B选项，求导，解不等式，求出单调性；C选项，分和两种情况，得到C正确；D选项，在BC选项基础上得到D正确
解答过程：A选项，令，解得或，故定义域为，
又，
故不是偶函数，A错误；
B选项，当时，，
，故在上单调递增，B正确；
C选项，由B知，当时，恒成立，
故的导函数在上无零点，
又时，，，
令，则，
则在上单调递减，又，
故的导函数在只有一个零点，
综上，的导函数有且只有一个零点，C正确；
D选项，由B知，在上单调递增，无极值点和极值，
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故为的极大值点，极大值为，
故的极值与极值点数值相等，D正确.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若恒成立，则
B. 是的极值点
C. 若恰有2个正零点，则
D. 若关于x的不等式有解，则
答案：AC
解析：
思路：对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解.
解答过程：由题意可知.
对于选项A：若恒成立，可得恒成立，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
可得，即，故A正确；
对于选项B：若，令，解得，
此时的定义域为，不在定义域内，故B错误；
对于选项C：由题意可知：，令，解得，
令，可得，
构造，则，
因为在R上单调递增，则，即，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则
即，解得，所以，故C正确；
对于选项D：令，
若，可知的定义域为，
当趋近于时，趋近于，符合题意；
若，可知的定义域为，
令，可得，
由选项C可知：在定义域内单调递增，
因为，则，即，
可知有解，由选项C可得：，解得；
综上所述：，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列满足，．数列的通项公式是______．
答案：
解析：
思路：由，得到，两式作差，得到，整理得到，累乘求得，结合的条件，以及，得到数列的通项公式.
解答过程：，
当时，
当时，
，
两式相减得：，即，
，
，
，
，
累乘得：，所以，
，
故答案为.
方法提示：关键点点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解，利用题中所给的条件，类比得出相应的式子，两式相减，得到相邻两项之间的关系，解题的关键点是要时刻关注着的条件.
13. 函数在（a,10-）上有最大值，则实数a的取值范围是 ．
答案：
解析：
解答过程：要满足题意即函数的最大值必是区间上的极大值．
由已知，
当时，，
当时，或；
所以是函数的极大值点，
则由题意得：，解得
14. 已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是________.
答案：
解析：
思路：由题意可得，，作比得==，令=t，结合条件将写成关于t的函数，求导分析得到的范围，再结合得到a的范围，与函数有两个极值点时a的范围取交集即可.
解答过程：∵函数有两个极值点，∴有两个零点，
即，两式作比得到:==，
令，①，则有=,②
∴,代入①可得，
又由②得=，∴t,
令g（t）=，（t）,则=，
令h(t)=，则=，
∴h(t)单调递减，∴h(t)=1-2，
∴g（t）单调递减，∴g(t)=，即，
而，令u(x)=，则>0, ∴u(x)在x上单调递增，
∴u(x)，即a，
又有两个零点，u(x)在R上与y=a有两个交点，
而，在（-，1）,u(x)单调递增，在（1，+, u(x)单调递减，u(x)的最大值为u(1)=，大致图像为：
∴,又，，
综上，，
故答案为.
方法提示：本题考查了利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用了整体换元的方法，体现了减元思想，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
（1）求切线的方程；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．
答案：(1) ；(2)
解析：
思路：（1）由导数的几何意义，求得，得到，进而求得切线的切点坐标，求得切线的方程；
（2）由（1）函数，求得函数的单调性与极值，由有3个零点，转化为与的图象有3个交点，即可求解．
解答过程：（1）由题意，函数，则，
又的图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得，即，
所以，所以切点的坐标为，
则切线方程为，即；
（2）由（1）可知，令，则，
列表如下：
所以当时，有极大值；
当时，有极小值，
且当时，；当时，，
因为有3个零点，所以有3个实数根，
即与的图象有3个交点，所以实数的取值范围为．
方法提示：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求解函数的单调性与极值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求证：．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式；
（2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论．
（1），则，
，又，
故是首项为，公比是的等比数列，
，即，
成立，
数列的通项公式为．
（2），
，
，
，
，
，
，故．
17. 已知函数．
（1）若，证明：在上单调递增；
（2）令，其中，若讨论函数的单调性；
答案：（1）证明见解析
（2）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
解析：
思路：（1）求导得解析式，分析当时，各部分的范围，分析即可得证
（2）求导得解析式，记，利用导数可得的单调性，
分别讨论、20,g'π