2025--2026学年湖南湘潭电机子弟中学高一下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南湘潭电机子弟中学高一下册期中数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题（77分)等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A. 1B. C. 0D. 1或
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台
4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A. B. 2C. 3D.
5. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 20D. 21
8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 的面积为6D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分）
9. 已知复数，以下说法正确的是（ ）
A. 的实部是5
B.
C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在中，若，则
C. 已知向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A. 面B. 与是异面直线
C. 的最小值为D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 复数，则的虚部为______.
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．
14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
四、解答题（77分)
15. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
16. 已知向量和夹角为，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）与的夹角的余弦值．
17. 在中，角，，的对应边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
（1）当为的中点时，求证：平面.
（2）当平面，求出点的位置，说明理由.
19. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.

（1）求；
（2）当点为中点时，求：的余弦值；
（3）当取得最小值时，设，求的值.
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A. 1B. C. 0D. 1或
答案：B
解析：
思路：由纯虚数的定义列式求解即可.
解答过程：因为复数为纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程.
3. 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台
答案：C
解析：
思路：根据几何体的结构特征依次判断.
解答过程：由题意得，圆柱的截面有可能为矩形，圆锥的截面有可能为三角形，
圆台的截面有可能为梯形，球的截面一定是圆面．
故选：C
4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A. B. 2C. 3D.
答案：C
解析：
思路：运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可.
解答过程：如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选：C.
5. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可.
解答过程：由题意可知，，
由，得，
解得.
6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断.
解答过程：对于A,如下图所示，
易得,
则，
又平面,平面,
则平面，故A满足；
对于B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接,
易得,
则四边形为平行四边形，
四点共面，
又易知，
又平面,平面,
则平面，故B满足；
对于C,如下图所示，
点为所在棱的中点，连接,
易得四边形为平行四边形，四点共面，
且,
又平面,平面,
则平面，故C满足；
对于D，连接,
由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形，
所以与所在的直线相交，
故不能推出与平面不平行，故D不满足，
故选：D.
7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 20D. 21
答案：A
解析：
思路：先求出棱台的高，然后利用台体的体积公式求体积即可.
解答过程：由棱台的几何特征可得其高为：
，
则其体积为：
.
故选：A
8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 的面积为6D.
答案：D
解析：
思路：由，，利用余弦定理，正弦定理可求角，的三角函数值，进而求，利用三角形的面积公式即可求其面积.
解答过程：对于A，，
由余弦定理得，则，A正确；
对于B，，，
，由正弦定理得

，又
， ，，B正确；

又，由正弦定理得
，D错误；
，C正确；
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分）
9. 已知复数，以下说法正确的是（ ）
A. 的实部是5
B.
C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
答案：ABC
解析：
思路：根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD.
解答过程：对于A，复数的实部是5，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在中，若，则
C. 已知向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“”
答案：BCD
解析：
思路：对于A，根据平面向量的定义判断；对于B，利用向量数量积的定义计算判断；对于C，根据向量数量积的坐标公式与向量共线的条件计算判断；对于D，利用正弦定理与三角形内角范围推理判断.
解答过程：对于A，因向量既有大小又有方向，故不能比较大小，即A错误；

对于B，如图，取的中点为点，因，则，
于是，故B正确；
对于C，由与的夹角为钝角，可得，解得且，
即实数的取值范围是，故C正确；
对于D，在中，，.由和正弦定理，可得，即，故；
又由可得，由正弦定理，，即，故“”的充要条件是“”，故D正确.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ）

A. 面B. 与是异面直线
C. 的最小值为D. 三棱锥的体积为定值
答案：ACD
解析：
思路：由空间中点、线、面的相关知识逐一判断各选项即可．
解答过程：对于A，连接，

正方体中，，，四边形为平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面，
同理平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故A正确；
对于B，当点P在点处时，，即，故B错误；
对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图，

此时，在中，，，，
由余弦定理有：
∴的最小值为，故C正确；
对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有，
∵平面，平面，∴平面，
∴P到平面的距离等于到平面，为定值，
又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 复数，则的虚部为______.
答案：
解析：
思路：根据复数的除法运算直接可得解.
解答过程：，
则其虚部为，
故答案为.
13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______．
答案：
解析：
思路：先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值.
解答过程：因为，且，，所以，
由正弦定理可得，即，
即，解得，
故答案为.
14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
答案：6
解析：
思路：建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算.
解答过程：以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，解得：，
所以.
故6
四、解答题（77分)
15. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积.
（2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积.
（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.
由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，
故该几何体的表面积.
（2）由球的体积公式可得半球的体积.
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积.
故该几何体的体积.
16. 已知向量和夹角为，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）与的夹角的余弦值．
答案：（1）2 （2）
（3）解析：
（1）依题意，；
（2）因，
则；
（3）因，
由（2）得，则.
17. 在中，角，，的对应边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解；
（2）根据余弦定理可得，进而可得面积.
（1）在中，，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，又，，
所以，即，
又，则；
（2）在中，由余弦定理可知，
即，化简可得，
解得或（舍），
则的面积.
18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
（1）当为的中点时，求证：平面.
（2）当平面，求出点的位置，说明理由.
答案：（1）证明见解析；
（2）存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.
解析：
思路：（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；
（2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置.
（1）取中点为，连接，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
面面，
平面；
（2）连接，相交于，连接，
面，面面面，
，，
即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.
19. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.

（1）求；
（2）当点为中点时，求：的余弦值；
（3）当取得最小值时，设，求的值.
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）由余弦定理求解即可；
（2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可；
（3）设则可转化为关于的二次函数，求最值，再由及三点共线得解即可.
（1），由余弦定理知：
，
.
（2）设，
分别为的中点，
，
，
，
又.
.
（3）设
，
当即时，取最小值，
，
，
，
三点共线，
，
.