湖南湘潭市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题（含解析）

这是一份湖南湘潭市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将集合用列举法写出具体元素，由集合的表达式可知集合的元素，即可得到的结果.
【详解】将集合用列举法写出得：，
对于集合，由可知：，所以.
故选：C.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数运算和共轭复数的概念可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B．
3. 设向量.若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的坐标表示出，然后解方程即可.
【详解】，
∴，
解得.
故选：A.
4. 已知数列是等比数列，若，则（ ）
A. 13B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为数列是等比数列，
若，则，与题设条件不符，所以；
当时，所以，即，
所以.
5. 为了保障速滑比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理、、、、、六条短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王清理三条跑道的情况共有多少种（ ）
A. 120B. 80C. 60D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】第一步从6条跑道中选3条分配给小王，计算得到选法数；第二步将剩余3条分给小李、小方，满足每人至少1条，算出分配情况，两步结果相乘得总情况数即可.
【详解】从6条跑道中选3条给小王，可得种分法，
小王选完后还剩条跑道，需要分给2人，且每人至少1条.
所有不考虑限制的分法共种，减去“全给小李”“全给小方”这2种不符合要求的分法，
可得符合要求的分法共种.
根据分步乘法计数原理，总情况数为种.
6. 在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平面的方程可以表示为，若平面的方程为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到面的距离公式即可利用向量法求解．
【详解】∵平面的方程为，取平面内一点，
则平面的法向量为，又∵，∴，
∴点Q到平面的距离为．
故选：B．
7. 已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.
8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得在上恒成立，即,据此可得答案.
【详解】，
因在上单调递减，则在上恒成立，又，
则在上恒成立.
由于开口向上，且在上只可能有最小值，
则要使在上恒成立，只需.
注意到时，，当时，，
则，满足题意；
当时，在上单调递减，则
，则，满足题意.
综上可得满足题意.意.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断.
【详解】初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）：球在甲手里，；
若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A正确；
第次拋硬币后，球在甲手中的概率为（*），
其中表示球在丙手中的概率，且由对称性知，则，故C正确；
因 ，则，代入（*）可得：，
同理，由对称性，则有.
又由可得，即数列为首项是，公比为的等比数列，
则，即，同理，故 ，故D正确；
因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立，
则，故其方差为，故B错误.
故选：ACD.
10. 正方体的棱长为为中点，为侧面内一动点，且平面，则（ ）
A. 平面B. 动点的轨迹长为
C. 有且仅有一点，使得D. 三棱锥外接球半径的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明与不垂直，即可判断A，取的中点H，G，连接，证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，即可判断B，设，利用求出的值，即可判断C，设外接圆的半径为，三棱锥外接球半径为，则，要使取得最小值，则只需取得最小值，求出的最小值，即可判断D.
【详解】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，所以，
即与不垂直，又平面，所以不垂直平面，故A错误；
对于B：如图分别取的中点H，G，连接，
由正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，
又，即动点的轨迹长为，故B正确；
对于C：由B可知，，，，设，
则，
，
若，则，
整理得，解得（舍去）或，
所以有且仅有一点，使得，故C正确；
对于D：依题意与不重合，又平面，
设外接圆的半径为，三棱锥外接球半径为，
则，要使取得最小值，则只需取得最小值，
又，所以当时，
此时，所以三棱锥外接球半径的最小值为，故D正确.
故选：BCD
11. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的面积为
C. 当是直角三角形时，
D. 的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】选项，用正弦定理将条件角化边，再用余弦定理求出角；选项，用正弦定理结合已知边求出角，再用内角和求角，最后用面积公式计算验证；选项，先确定直角位置，用正弦定理求出三边，再用直角三角形内切圆半径公式计算；选项，用正弦定理边化角，结合内角和统一变量，用辅助角公式化简后根据角的范围求值域.
【详解】选项：根据正弦定理角化边，原式可化为.
由余弦定理，代入得.
∵，∴，故选项正确.
选项：若，∵，
∴，又A是锐角，∴.
则，即为直角三角形，斜边.
由勾股定理得，故的面积，选项错误.
选项C：∵，∴若为直角三角形，因为是锐角，则直角只能为，则，
∵，，.
半周长，面积，
∴，选项C正确.
选项D：∵，，∴，
又是锐角，即，∴.
由正弦定理得，，则：
展开 ，代入得：
，
故.
∵，∴，因此 ，
即的取值范围是，选项D错误.
方法归纳：解三角形综合问题常通过正弦定理、余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和定理、三角函数的值域求解范围问题；三角形内切圆半径公式为（其中为三角形面积，为半周长），是求解内切圆半径的常用方法.
易错归纳：1. 易忽略题目中“A是锐角”的条件，导致角A的范围求解错误；2. 讨论直角三角形时，遗漏直角的可能位置，仅考虑一种情况；3. 在求取值范围时，未正确确定三角函数的定义域，导致范围计算错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在上的偶函数，时，，则函数的零点个数为______.
【答案】16
【解析】
【分析】由可得或，由函数是偶函数，结合函数的图象求出时的零点个数即得.
【详解】由，即，得或，
则函数的零点，即函数的图象与直线和的交点横坐标，
而是上的偶函数，于是只需求出当时的图象与直线和的交点个数，
当时，，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
显然当时，，作出函数在上的图象及直线和，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有3个交点，与直线有5个交点，
因此当时，的图象与直线和的交点共有8个，
则偶函数在的图象与直线和的交点共有16个，
所以函数的零点个数为16.
故答案为：16
13. 已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是__________．
【答案】29
【解析】
【分析】根据题设不等式关系得、，再由等差数列前n项和公式及相关性质求对应正整数n.
【详解】由，得，由，得，
所以，，
所以满足的正整数n是29．
故答案为：29
14. 小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出离散型随机变量的分布列，由离散型随机变量的数学期望与方差公式计算即可.
【详解】的分布列为：
所以，
的分布列为：
同理：，故：，
当时，的分布列为：
所以，
当时，的分布列为：
所以，
当时：的分布列为：
，
当时：的分布列为：
，
当时：的分布列为：
，
所以：.
故答案为：；
关键点点睛：方差可以用数学期望来计算，将离散型随机变量取值进行分类求数学期望，最后求加权平均即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 不透明的袋子中装有编号为1，2，3，4的4张卡片，这4张卡片除编号外，其余完全相同.现从袋子中不放回地抽取1张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的编号为奇数，则再从袋子中不放回地抽取1张卡片，直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取.
（1）求恰好抽取2张卡片后结束抽取的概率；
（2）若抽出编号为奇数的卡片得1分，抽出编号为偶数的卡片得2分，记抽取结束后的总得分为，求的分布列与期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）由题意可知只需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，从而利用独立事件的概率公式可耱得结果；
（2）由题意可得的可能取值为2，3，4，然后求出相应的概率，从而可求得的分布列与期望.
【小问1详解】
解：由题可知，要恰好抽取2张卡片后结束抽取，
则需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，
故所求的概率为.
【小问2详解】
由题意可得的可能取值为2，3，4，
若第一张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则.
若第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，
则由（1）可知.
若前两张被抽出的卡片的编号均为奇数，则第三张被抽出的卡片的编号必是偶数，抽取结束，
则.
的分布列为
故.
16. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8．
（1）求的方程；
（2）若的面积是，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义求得，根据离心率求得，进而求得，即可得解；
（2）由的面积求得，即点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点，求出直线方程，与椭圆方程联立求得，即可求得的面积.
【小问1详解】
因为的周长为，所以，
又，所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）有，，设，
因为的面积是，所以，
由于，所以点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点，
所以直线方程为：，
所以，所以，所以或，
所以，代入得或（舍去），
所以的面积为.
17. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点．用空间向量坐标法解答以下问题：

（1）求与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）当或时，使得二面角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求，利用夹角公式即可求解；
（2）求平面的法向量为，显然平面的法向量为，利用夹角公式即可求解；
（3）设，即，求平面的法向量为，利用夹角公式得，即，解出即可求解.
【小问1详解】
由平面，所以，
以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由，所以，
设，由，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
所以与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
由题意有，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
显然平面的法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为；
【小问3详解】
设，即，由,
，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
所以，
化简整理得：，解得或，
所以存在点，当或时，使得二面角的余弦值为.
18. 若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列．
（1）若数列是“”数列，求的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）根据可直接得到结果；
（2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得；
（3）根据题意，得，利用换元转化为方程的问题即可求得结果.
【小问1详解】
数列是“”数列，
．
【小问2详解】
正项数列是“”数列，，
，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，，
当时，，
当时，不满足，
【小问3详解】
由“”数列定义知：，
则，
，
，
，令，
故在有解，
当时，不符合；
当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解；
当时，对称轴，所以在上无解，
即实数的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）当时，讨论在区间上的单调性；
（2）设在区间上存在两个极值点，．
①求a的取值范围；
②若，求与的等差中项．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）对函数求导得，确定当时导函数的符号，得函数单调性，再根据奇偶性得对称区间上的单调性；
（2）①对函数求导，不妨设，分别说明函数在区间与上的单调性，从而得函数极值点情况，即可求得a的取值范围；②由，得，从而得，同理得，由，结合三角函数性质即可得所求.
【小问1详解】
当时，，．
当时，，，，
所以在上单调递增．
又因为，
所以为偶函数，所以在上单调递减．
综上，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
①由题意可得，不妨设．
当时，，
函数在上单调递增，值域为．
当时，存在唯一实数，使得．
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以当时，在上存在极小值点．
当时，，
函数在上单调递增，值域为．
当时，存在唯一实数，使得．
又，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，在上存在极大值点．
又，综上，若在区间上存在两个极值点，则a的取值范围为．
②由，得．
所以．
同理可得．
由，
整理，得．
又，所以，
所以，
所以（舍去）或，
所以，所以与的等差中项为．
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值问题，三角函数的图像与性质，考查分类讨论思想.解决本题中三角函数单调性与极值点的关键是根据三角函数的图象特点，分区间，分别确定函数导函数的符合，从而得函数极值与最值，属于难题，1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
1
2
3
4
5
15
3
4
5
6
7
8
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6
7
8
9
10
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12
10
11
12
13
14
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3
4