2025--2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表：
由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ）
A. 8B. 9C. D.
4. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 圆与圆的公共弦长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
7. 双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 5
8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列
C. 数列是递增数列D. 数列的前n项积为，则
11. 满足，且，则（ ）
A. 三个内角满足关系
B. 的周长为
C. 若的角平分线与交于，则的长为
D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知、为随机事件，且，，若，则___________.
13. 在的展开式中，项的系数为_____________．
14. 下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．
16. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17. 如图，在四棱锥中，.
（1）证明:平面平面；
（2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求.
18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．
19. 已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：恒为定值；
（ii）求四边形的面积的最大值.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：集合，，
当时，，满足，因此，
当时，由，得，解得，
所以的取值范围是.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，
则，又，所以，
而，则，
所以.
3. 某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表：
由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（ ）
A. 8B. 9C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，代入回归方程得，
，解得，
规划耗时数据升序排列为：5，6，8，，，
第百分位数位置为：,
当不是整数时，向上取整，为第4个数据，即为．
4. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为
又因为分别是棱的中点，所以.
5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
解答过程：直线：，直线：，
当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行，
当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行，
设直线方程为，直线方程为，
若，则，即，
化简可得，即，解得，，
当时，代入可得：，：，
两直线重合，所以舍去，
当时，代入可得：，：，
和的斜率都为，所以，
因此是的充要条件.
6. 圆与圆的公共弦长为（ ）
A. 2B. C. D. 4
答案：D
解析：
思路：通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长.
解答过程：已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ，
将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程，
化简得.
根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：，
根据垂径定理，公共弦长.
方法提示：本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法.
7. 双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 5
答案：C
解析：
思路：写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率.
解答过程：记，则：，整理得，
则，因为为的中点，所以，
因为点B在双曲线E上，则，令，得，
化简得，又，则，故离心率.
8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解.
解答过程：由题意得，即，
设，则在上单调递增，
即上恒成立，
则恒成立，即，
设，则，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：AC
解析：
解答过程：若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确；
如图所示，可知，但与相交，则选项B错误；
如图所示，设，过平面内一点，作，
由面面垂直的性质定理可知，，所以，
因为，所以，选项C正确；
如图所示，可知，但与相交，选项D错误；
10. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列为等差数列
C. 数列是递增数列D. 数列的前n项积为，则
答案：ABD
解析：
思路：对于A，对数列递推式依次取值计算即可判断；对于B，由递推式取倒数，利用等差数列定义即可判断；对于C，利用数列通项的增减性即可判断；对于D，求出的表达式，由对依次赋值比较即可判断.
解答过程：对于A，由，，可得，，，，故A正确；
对于B，由和可知，两边同时取倒数可得，
即，故数列为等差数列，即B正确；
对于C，由B可得，则得，显然随着的增大， 逐渐减小，故数列是递减数列，即C错误；
对于D，依题意， ，因为，
当时，得，当时， ，而当时， ，则，故有，即D正确.
11. 满足，且，则（ ）
A. 三个内角满足关系
B. 的周长为
C. 若的角平分线与交于，则的长为
D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值.
解答过程：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
对于A：由余弦定理知，，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B：因为，
所以的周长为，故B正确；
对于C：若的角平分线与交于，则，
因为，
所以，
即，解得，故C错误；
对于D：因为，
设外接圆的圆心为，半径为，
由正弦定理知，，所以，
过点作的垂线，垂足为，则，
当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，
此时，
所以的最大值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知、为随机事件，且，，若，则___________.
答案：##
解析：
思路：根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果.
解答过程：因为，，则，
又因为，则，
且，所以.
13. 在的展开式中，项的系数为_____________．
答案：10
解析：
思路：依据多项式乘法的法则得到含项只需要其中三个因式取第四个因式不取即可.
解答过程：展开式中项的产生，
可以看作，，，四个括号中三个括号取，
一个括号取常数，所以项的系数为.
14. 下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少．
答案：
解析：
解答过程：
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
设抛物线方程为，把代入可得，即，
为使所挖土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点为，是抛物线上的一点，设经过点的切线的方程为，
联立可得，消去可得，
由，
所以切线方程为，
所以，
所以梯形的面积为，当且仅当时取等号，
所以改挖后水沟的底部宽为米.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．
答案：（1）1 （2）
（3）解析：
思路：（1）求导可得的解析式，令代入，即可得答案.
（2）求导可得的解析式，可得在点处的切线的斜率，根据两直线垂直斜率的关系，即可得答案.
（3）根据（1）可得在点处的切线方程，设该切线方程与相切于点，根据导数的几何意义，可求出，代入切线方程，可得，将切点代入方程，即可得答案.
（1）因为，所以，
令，得，解得
（2）由，得，
则曲线在点处的切线的斜率，
又切线与直线垂直，
所以，解得
（3）由（1）得曲线在点处的切线的斜率，
又，则切点坐标为，
则在点处的切线方程为，即，
由题意也是的切线，设切点坐标为，
则，所以在点处切线的斜率，
解得，则，即切点坐标为，
将切点代入，可得，
解得.
16. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
17. 如图，在四棱锥中，.
（1）证明:平面平面；
（2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）作，垂足为，连接.利用已知可得，利用勾股定理和逆定理可证，利用线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求.
（1）作，垂足为，连接.
在中，由，解得.
，四边形是平行四边形，
，则，，即.
，又平面，平面.
平面，平面平面.
（2），.

如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
，，
，
设平面、平面的法向量分别为 ，
由，取，得.
由 ，取，得.
因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为，
所以，
解得或46 .
当时，，此时为钝角，不符合题意；
当时，，此时为锐角，符合题意，
故.
18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．
答案：（1）分布列见解析
（2） （3）高二年级学生体能检测合格
解析：
思路：（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解；
（2）利用条件概率公式即可求解；
（3）利用正态分布的区间即可求解.
（1）由题意的可能取值为，
所以，
所以的分布列为
（2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”，
所以，
所以，
，
所以；
（3）由已知有，所以，
所以，
所以高二年级学生体能检测合格.
19. 已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：恒为定值；
（ii）求四边形的面积的最大值.
答案：（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）6.
解析：
思路：（1）根据题设条件求出基本量后可得椭圆的方程；
（2）（i）设出切线方程，联立切线方程和椭圆方程，消元后根据判别式为零可求切线方程，根据同构可得切点弦的方程，联立切点弦方程和椭圆方程，结合韦达定理化简斜率乘积为，从而可证恒为定值；
（ii）结合（i）中结果结合点到直线距离可求四边形面积表达式，从而可求面积的最大值.
（1）由题意知，解得，，
故的方程为.
（2）（i）设，，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时直线的方程为，此时；
同理，若直线的斜率不存在，则.
若直线，的斜率都存在，设直线的斜率为，
则直线的方程为，
由得，
因为直线与椭圆相切，
则，
化简得，
又，所以，代入上式得，
所以，即，
所以，解得（），
所以直线的方程为，整理得，
设直线的斜率为，直线的方程为，
同理可得直线的方程为，
设，其中，
则有，，所以直线的方程为，
若,则，直线的方程为，可得，
不妨设，，此时，
故即.
若，由整理得，
所以，，
故
，
整理得，又，
所以，则，即.
综上可知，恒为定值.
（ii）由上可知，直线的方程为，
又，则，，
则点M到直线的距离为，
原点O到直线的距离为，
由上可知，，
则
，
所以四边形的面积为
，
所以当时，四边形的面积取得最大值6.
避障阈值
9
9.5
10
10.5
11
规划耗时
8
6
5
避障阈值
9
9.5
10
10.5
11
规划耗时
8
6
5
1
2