2025--2026学年湖南师范大学附属中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南师范大学附属中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了 设集， 若，则， 已知直四棱柱的棱长均为， 在中，，则的面积可以是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集.集合.则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
8. 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在中，，则的面积可以是（ ）
A. B. 1C. D.
10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数的一个单调递减区间为
11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ）
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
13. 已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．
14. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______．
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知.
（1）若，求和的长度；
（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
18. 已知函数fx=a2x+2xx∈A.
（1）若集合.
（i）若函数为奇函数，求不等式的解集；
（ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）设gx=fx(x∈−1,1,且fx是奇函数)fx(x∈−2,−1∪1,2,且fx是偶函数),若对于区间上的任意实数，不等式gx1+gx2+4>ngx3恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加.
（1）写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式；
（2）设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数；
（3）设复数不全为实数，，证明.
数学
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集.集合.则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：解不等式得到集合，再利用集合的交集求解.
解答过程：
又，所以
故选：B
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据复数乘法运算求解判断.
解答过程：因为，所以.
故选：C.
3. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
解答过程：由已知得
.
故选：D.
4. 函数的图象关于直线对称的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项.
解答过程：函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位，
所以，函数的图象如下图所示：
所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象.
故选：A.
5. 若外接圆的半径为，内角的对边分别为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求的值.
解答过程：由，有，得，
因为，所以，所以或，
又，所以应舍去，则.
又，解得.
6. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
解答过程：设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：D
解析：
思路：根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
解答过程：
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
8. 已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.
解答过程：如图，取的中点为
因为，直四棱柱的棱长均为2，
所以为等边三角形，所以，
又四棱柱为直四棱柱，
所以平面，
又在平面内，故，
因为侧面，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
取的中点为的中点为，连接、，
则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
则，所以，根据弧长公式可得.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在中，，则的面积可以是（ ）
A. B. 1C. D.
答案：AD
解析：
思路：由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
解答过程：解：∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
方法提示：本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．
10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数的一个单调递减区间为
答案：BD
解析：
思路：先由三角函数的图象变换求出的值并判断选项A，再求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B，C，D即可得解.
解答过程：的图象向右平移个单位长度后得到，
而，则，即，A不正确；
此时，其周期，B正确；
由，得，即的对称中心为()，C不正确；
由，解得，即的单调减区间为，
当时，是函数的一个递减区间，D正确.
故选：BD
11. 已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（ ）
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等
B. 平面截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
答案：ACD
解析：
思路：本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑.
解答过程：对于A，因为平面与对角线垂直，又平面，
所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角，
由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等，
故直线与平面所成角也相等，故A正确；
对于B，当平面沿对角线平行移动时，
只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大.
又由题易知，六边形为正六边形，可求得，
则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误；
对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值，
即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又，
故等价于求与平面所成角，设与平面交于点，
因为平面，所以为所求角，
，则，故C正确；
对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，
，
同理可得
当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
答案：4
解析：
思路：根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得.
解答过程：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，
其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,
∴高h＝.
故4
13. 已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值.
解答过程：
如图，过作交底面圆锥于点，连接，
因为，则为异面直线与所成角，
所以，
又，所以，即，
因为，函数在上单调递减，所以，
故异面直线与所成角的最小值为.
故答案为.
14. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为______．
答案：
解析：
思路：根据题意可得，从而可求得的一个大范围，根据，可得，再由的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.
解答过程：因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以，所以，
由，可得，
由，得，
当，即时，
则，解得，
所以，
当，即时，
则，解得，
综上所述：的取值范围为.
故答案为.
方法提示：思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；
（2）由，平方可得，再根据数量积的坐标运算可求得，再根据二倍角的正余弦公式及平方关系化弦为切即可得解.
（1）因为，
所以，即，
所以；
（2）因为，
所以，
即，所以，
即，所以，
所以
.
16. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
解析：
思路：（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面；
（2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面；
（3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案．
（1）连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点．
是的中位线，
，
平面平面，
平面；
（2）在正三棱柱中，
平面平面，
，
在等边中，为的中点，
，
又是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，
平面平面；
（3）连接，
和都是直角三角形，且，
，
，
，
由（2）得，平面平面，平面平面，又平面，
平面，则为直线与平面所成的角．
在中，，则
所以直线与平面所成角的正切值为.
17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为桃树林和散养走地鸡，区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知.
（1）若，求和的长度；
（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
答案：（1），
（2）15°时面积最小，最小值为.
解析：
思路：（1）先根据题干条件得到，利用余弦定理求出，进而求出；
（2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.
（1）在中，，
则，所以，
在中，，
所以.
于是，
在中，
，
在中，，所以.
（2）设，
在中，得，
在中，，得，
所以的面积

因为，所以当时面积最小，最小值为.
18. 已知函数.
（1）若集合.
（i）若函数为奇函数，求不等式的解集；
（ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）（i）；（ii）
（2）.
解析：
思路：（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过12x+2x=k,x∈−3,3换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解.
（2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为−32,32∪52,174.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围.
（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得，
则，此时因f−x=−12−x+2−x=−2x+12x=−fx，函数为奇函数，
则不等式fx>32⇔−12x+2x>32，设，代入整理得2t2−3t−2>0 ，
解得或（舍），即，解得，
故原不等式的解集为.
（ii）因为函数为偶函数，故，
即(a−1)(2x−12x)=0 ，因2x−12x不恒为0，故，则，
则f2x+2m⋅fx