河北省唐山市开滦第二中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省唐山市开滦第二中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在半径为的圆中，有一条长度为的弦，则（ ）

A．2B．4C．8D．12
6．已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．一个封闭的棱长为的正方形容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半，若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 （ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的编号为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出球的编号之和为5”，事件“摸出球的编号都大于2”，事件“摸出球中有编号为3的球”，则下面说法正确的有（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件B．事件B与事件C是对立事件
C．事件A与事件C是相互独立事件D．
10．已知定义在R上的函数满足：，若为数列的前n项和，且，（）则下列结论中正确的有（ ）
A．B．数列为等比数列
C．为等差数列D．
11．函数的部分图象如图所示，A为图象与x轴的一个交点，B，C分别为图象的最高点与最低点，若，则以下选项正确的有（ ）
A．B．三角形ABC的面积为
C．D．是的一条对称轴
三、填空题（本大题共3小题）
12．唐山市2024年中考市区考生约15600人，考生的成绩X（含优惠）近似服从正态分布：，已知，则唐山市区本次中考成绩在600分以上的人数约为 人．
13．展开式中的系数是 .
14．在四面体中，，若该四面体的体积为4，则该四面体的外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角所对的边分别为，已知的面积为.
(1)证明：；
(2)若求.
16．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
17．为了解唐山市各县区经济发展状况，以便制定更好的经济政策，要对各县区进行经济普查，为保障普查顺利进行，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记有的不够顺利，所以唐山市发改委先对县区进行了试点性的普查，以便为正式普查提供了宝贵的试点经验．在普查的县区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
(1)试根据小概率值的独立性检验，分析普查的县区的入户登记是否顺利与普查对象的类别是否有关联；
(2)以频率作为概率，某普查小组从县区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为正式普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．
附：
18．已知抛物线：经过点，经过点作一斜率为的直线与的另一交点为，直线与直线关于对称且与的另一交点为．

(1)求抛物线的方程；
(2)直线的斜率；
(3)若点在以为直径的圆内，求的取值范围．
19．已知函数，．
(1)证明：函数有且仅有一个零点；
(2)若，求函数与的公切线的方程；
(3)已知函数，若恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用复数的除法运算结合复数的模求解即可.
【详解】
故选B.
2．【答案】A
【分析】先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，再由.
【详解】由，得，得，解得或，
所以，
所以，
由，得，所以，
所以.
故选A.
3．【答案】B
【分析】按照分段函数求值的方法，将化为，计算即可.
【详解】
即，解得
故选B．
4．【答案】D
【分析】结合题意，利用和差公式化简可求出三角函数值，即可求解.
【详解】，
整理得，故，，
所以.
故选.
5．【答案】C
【分析】取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】取的中点，连接，则，
所以.
故选C.

6．【答案】D
【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得.
【详解】由题意知，令，得或，
在和上，所以在和单调递增，
在上，所以在单调递减，
令求得，或，
又因为在上的最大值为4，故舍弃，
又在上单调递减，所以在上，
在单调递增，所以当时，，
所以a的取值范围为，
故选D.
7．【答案】A
【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，再由可求出的关系，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为，
由，得，即，
由，得，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故选A.
8．【答案】C
【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半，而物体新位置高度的最大值为体对角线，进而可得解.
【详解】正方体的对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，
又水的体积是正方体体积的一半，
所以容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为，
故选C．
9．【答案】AC
【分析】根据事件发生的情况即可判断.
【详解】事件包含了摸出的球为1，4和2，3，事件包含了摸出的球为3，4，
事件包含了1，3和2，3以及3，4，根据事件的关系可知A对，B错；
，
，故C正确；
，故D错.
故选AC.
10．【答案】CD
【分析】选项A：利用对称性求解，选项B利用退一步相减法结合等差数列的通项公式是伪一次函数的性质求解即可，选项C利用等差数列的性质求解即可，选项D利用裂项相减法求解即可.
【详解】因为所以
，
，
两式相加：所以，故选项A错误.
当时，当时，
所以符合一次函数的形式，
所以数列为等差数列不是等比数列，故选项B错误.
符合一次函数的形式，故为等差数列，故选项C正确.
因为所以
，所以.
故选CD.
11．【答案】ABD
【分析】利用三角函数的图象求解选项A，利用计算出利用三角函数的图象对称性求解求解选项B，选项C，利用三角函数对称轴处三角函数值取最大值求解选项D.
【详解】由图形分析可知故选项A正确，
因为
所以
所以所以
由对称性知则为正三角形，
又函数最高点函数值为所以所以
所以三角形ABC的面积为故选项B正确.
所以函数周期为所以故选项C错误，
将代入得
则结合图象解得
故
令则
则是的一条对称轴.
故选项D正确.
故选ABD.
12．【答案】3978
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再估计人数.
【详解】由，，
得，
所以本次中考成绩在600分以上的人数约为.
故答案为：3978
13．【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
令，可得；
令，可得；
所以的系数是.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】取中点，证平面，作，交于点，证平面，利用四面体的体积求得，继而求得，设的外心为,过点作平面，为四面体的外接球球心，设外接球半径为，求出，表示出，结合图形，利用勾股定理列出关于的方程，解之即得.
【详解】
如图取中点，连接，过点作，交于点，
因为，则
因为平面，则有平面，
又平面，故，
又平面，故平面.
由四面体的体积为，解得，，
因，则，
设的外心为，显然点在上，过点作平面，点为四面体的外接球球心，
连接，设外接球半径为，则，故，
因为，过点作，交的延长线于点，且，
在中，，
由勾股定理，，解得，，
故该四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)由三角形的面积公式化简得，进而得到，即可作出证明；
(2)因为，求得，由(1)得，利用余弦定理求得，再由面积公式，即可求解.
【详解】(1)证明：由三角形的面积公式，可得，即，
又因为，所以，
又因为，所以，所以.
(2)因为，由三角函数的基本关系式，可得，
由(1)得，
由余弦定理得，解得，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】(1)先证，再证平面由线面垂直推出面面垂直即得；
(2)先证平面，建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.
【详解】(1)，E为AC的中点，
又，且平面 ，故平面．
又平面ABC，平面平面ABC
(2)在三角形ABC中：，

由(1)知平面．平面，．
又E为AC的中点，则垂直平分AC，，
，又
，即，又平面，故得，平面.
故可以E为坐标原点，分别以，，所在方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.

则，，，，
，，，
设平面PAB的一个法向量为，则
令，得．
设点C到平面PAB的距离，则．
17．【答案】(1)分析普查的县区的入户登记是否顺利与普查对象的类别是有关联；
(2)分布列见解析，．
【分析】(1)利用卡方计算公式结合独立性检验求解即可；(2)结合二项分布求解即可.
【详解】(1)将列联表中的数据代入公式计算得
，
所以根据小概率值的独立性检验，分析普查的县区的入户登记是否顺利与普查对象的类别是有关联．
(2)以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．
X可取0，1，2，3，4．
，
，
，
，
．
X的分布列为：
．
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)将点代入抛物线方程即可得解；
(2)由点斜式得直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，根据韦达定理得，同理得，最后根据直线上两点求斜率的公式化简求解即可；
(3)因为点在以为直径的圆内，所以，得到关于的不等式，令换元，得关于的不等式，最后解不等式即可.
【详解】(1)因为抛物线：经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为：；
(2)由(1)知，，
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
设，
由，得，
所以，，解得，
因为直线与直线关于对称，
所以直线的方程为：，同理可得：，
所以，，
所以直线的斜率；
(3)因为点在以为直径的圆内，所以，
因为
，
令，得，解得，
所以，所以，
又因为，所以的取值范围为：.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】(1)对求导，可得函数单调递增，结合即可得证；
(2)利用导数的几何意义求出与切线方程，结合已知可得切点坐标，则公切线方程可求；
(3)对求导，再对分类讨论，求出的最大值，由，即可求出的取值范围.
【详解】(1)证明：，
，
函数在上是单调递增函数，
又，函数有且仅有一个零点.
(2)时，，
分别设，的切点为，
，，
的切线为：，
即，
同理可求得的切线为：，
由题意得，解得，
切点均为，
公切线方程为．
(3)，其中，
①当时，，在上单调递增，
且，
不恒成立，不符合题意．
②当时，令得．
且时，，单调递增；
时，，单调递减，
有最大值为，
由(1)知在上单调递增，且，
恒成立时，
，又，
，
综上所述：恒成立时．
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
10
50
个体经营户
100
50
150
合计
140
60
200
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
P