2025--2026学年海南海口市第四中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南海口市第四中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 在菱形中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（ ）
A. 当时，有3个交点
B. 当时，有且只有1个交点
C. 当时，有2个交点
D. 当时，没有交点
二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 在平行四边形中，
B. 在中，若，则为钝角三角形
C. 若是的重心，则
D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为
11. 已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A. 当位于点时，的值最大
B. 当位于点时，的值最小
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________ ．
13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______．
14. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量OM→=1,3的伴随函数为，当且时，的值为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤）
15. 已知内角的对边分别为.
（1）若，求边和角A；
（2）若，求角A.
16. 已知向量.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值；
（3）当为钝角时，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在区间内的单调递增区间.
18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
19. 已知函数.
（1）设.
（i）计算的值，并求的最小值；
（ii）求的单调递减区间.
（2）对任意x1,x2∈1,16,fx1−fx2≤8 恒成立，求的取值范围.
数学
考生注意：本试卷共有19题，时间为120分钟，满分为150分.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先求出集合，再根据集合的并集运算求解.
解答过程：由，得，所以，
由，得，即，所以，
所以.
故选：A
2. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可.
解答过程：向量，“”可以得出，即得，
不能得出成立，可以推出成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
答案：A
解析：
解答过程：易知，
故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度.
4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据对数的性质及对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.
解答过程：，
因为在上为增函数，所以，即.
又为增函数，所以，即，
所以.
5. 在菱形中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量基本定理计算即可.
解答过程：分析可得，
于是．
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，
由
，
所以.
7. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案.
解答过程：对于函数，令，
解得，
即的对称中心为；
因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
所以函数与的最小正周期相等，
又函数的最小正周期，所以，所以，
则，
令，则，
故，解得，
因为，所以．
故选：C．
8. 已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（ ）
A. 当时，有3个交点
B. 当时，有且只有1个交点
C. 当时，有2个交点
D. 当时，没有交点
答案：D
解析：
思路：作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可.
解答过程：直线与直线有一个交点，
联立直线，解得或，
所以直线与直线的交点为，，
在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示，
当时，有3个公共点，分别为，A正确.
当时，有且只有1个公共点，为，B正确.
当时，有2个公共点，分别为，C正确.
当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误.
二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 在平行四边形中，
B. 在中，若，则为钝角三角形
C. 若是的重心，则
D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为
答案：ACD
解析：
解答过程：在平行四边形中，与 方向相同，长度相等，所以，所以A正确；
在中，与的夹角为，若，则BA→·BC→>0 ，
所以为锐角，不能说明为钝角三角形，所以B错误；
若是的重心，记的中点为，
则AG→=23AD→=23AB→+BD→=23AB→+12BC→=23AB→+13AC→−AB→=13AB→+13AC→，
即，所以C正确；
若a=23，b=2，a与的夹角为，
则在方向上的投影向量为a→·b→b→2·b→=a→b→cs5π6b→2·b→=a→cs5π6b→·b→=23×−322·b→=−32b→，
所以D正确.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为
答案：AD
解析：
解答过程：A：由基本不等式：，
两边平方得，即，等号成立当且仅当，
即，符合条件，因此最大值为，A正确；
B：，
得到的最小值为，无最大值，B错误；
C：将代入得：，
这是开口向上的二次函数，对称轴，
代入得最小值为，C错误；
D：，
等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确.
11. 已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（ ）
A. 当位于点时，的值最大
B. 当位于点时，的值最小
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
答案：BCD
解析：
思路：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.
解答过程：我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上，
则，设，
由解得：，
因此，
选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误；
选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确；
选项C，，
因为，所以， C正确；
选项D，，
最大值为，因此最大值为， D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________ ．
答案：8
解析：
思路：利用基向量表示向量，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可
解答过程：由已知得，所以，
所以
.
故8
13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______．
答案：
解析：
思路：根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解.
解答过程：因为角的终边经过点，所以.
又角与的终边关于x轴对称，
所以角的终边经过点，所以.
所以.
14. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量的伴随函数为，当且时，的值为___________.
答案：
解析：
思路：由伴随函数的定义得的解析式，根据辅助角公式、同角三角函数关系式及两角差的正弦公式即可求得的值.
解答过程：由题意知，，
当时，2sinx+π3=65，即sinx+π3=35..
由，得，
所以csx+π3=1−sin2(x+π3)=45.
所以sinx=sinx+π3−π3=sinx+π3csπ3−csx+π3sinπ3=35×12−45×32=3−4310.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤）
15. 已知内角的对边分别为.
（1）若，求边和角A；
（2）若，求角A.
答案：（1），；
（2）.
解析：
思路：（1）根据余弦定理求出，再由余弦定理求；
（2）根据余弦定理及条件化简即可得解.
（1）由余弦定理，，即82=72+c2−2×7×c×−17，
化简可得，解得或（舍去），
所以，
又，所以.
（2），又因为
所以，即，化简可得：，
所以为直角三角形，其中为直角，所以角.
16. 已知向量.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值；
（3）当为钝角时，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1），
因为，
λa→−b→=λ−2,2λ+1，
所以3λ−2+2λ+1=0⇒λ=1 .
（2），
因为，所以，
所以，
.
（3）角为钝角，即，且与不能反向共线，
所以，因为，可得，
且，
综上.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求在区间内的单调递增区间.
答案：（1）最小正周期，对称中心为；
（2）和.
解析：
思路：利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标；
（2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间.
（1）函数
=2sin2x−π3，
所以的最小正周期，
令2x−π3=kπk∈Z，解得：，此时，
的对称中心为；
（2）令，
解得，
的单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z；
当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；
在区间内单调递增区间和.
18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；
（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；
（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．
（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
（2），
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
（3），设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．
方法提示：关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
19. 已知函数.
（1）设.
（i）计算的值，并求的最小值；
（ii）求的单调递减区间.
（2）对任意恒成立，求的取值范围.
答案：（1）（i）；（ii）的单调递减区间为
（2）解析：
思路：（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值.
（ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间.
（2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围.
（1）（i）将代入得.
令，则.
.
因为，，当且仅当即时取等号，所以.
（ii）在上单调递增.
在上单调递减，在上单调递增.
由得.
所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为.
（2）对任意，恒成立，求的取值范围.
令，，，即，.
题意等价于在上恒成立.
函数图像开口向上，对称轴为.
①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去.
②当时，，.
若，，.
若，，.
③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去.
综上，的取值范围是.