2025--2026学年广东省汕头市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省汕头市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. iC. D. 1
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知随机变量的分布列为
设函数，若，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ）
A. B. 2C. D.
6. 已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
11. 函数，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则函数在上单调递减
B.
C. 方程可能无解
D. 若为奇函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的中的系数是______．
13. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______．
14. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A；
（2）若，边中线长为1，求的面积．
16. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明.
17. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
18. 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）．
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析．
（1）求此次分析触发预警的概率；
（2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”．
（i）求；
（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？
19. 已知函数，.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，证明：；
（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.
数学
注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. iC. D. 1
答案：B
解析：
思路：由复数的除法运算可求得结果.
解答过程.
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据可得出，利用集合的包含关系可求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
解答过程：若，则，
又因为集合，，则或，可得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
3. 已知随机变量的分布列为
设函数，若，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由分布列的性质可知，，所以.
因为函数，.
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
所以函数的值域为.
4. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
解答过程：，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
方法提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，然后根据题意列方程组，从而可求得结果．
解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，
因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍，
所以即，解得．
6. 已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：分、两种情况求解即可.
解答过程：若，则单调递减，图像可知，，
若，则单调递增，由图像可知，
故不等式的解集为．
故选：C
7. 甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用相互独立事件的概率乘法公式、条件概率的即可求出两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率
解答过程：记甲、乙、丙三人闯关成功分别为事件，记三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
又，
所以．
故选：C．
8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设，则，
由椭圆定义得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
所以的离心率.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列式子求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
解答过程：，所以A正确；
是常数，所以，所以B不正确；
，所以C不正确；
，所以D正确.
10. 在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
答案：ABC
解析：
思路：利用可判断AB；由等差中项和求和公式可得C；利用求和公式和下标性质可得D.
解答过程：，所以前10项都为负数，选项正确；
，选项C正确；
，，选项D错误.
故选：ABC
11. 函数，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则函数在上单调递减
B.
C. 方程可能无解
D. 若为奇函数，则
答案：ABD
解析：
思路：本题可根据复合函数的单调性、函数的奇偶性、方程的解等知识，对选项逐一进行分析.
解答过程：选项A： 当 时， ，则 ，
令 ，对 变形可得 ，
对于函数 ，当 时，单调递增， 单调递减，
所以 在 上单调递减.
又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A正确；
选项B： 已知 ，则 .
.
令 ，则 ，故B 正确；
选项C： 方程 即 ，变形可得 ；
令 ，则.
再令，，则.
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
所以在处取得最小值，即 恒成立，所以 在 上单调递增；
又因为当 时，；当时，，
所以对于任意的 ，方程 都有解，即方程 总有解，故C错误;
选项D： 若 为奇函数，则 ，即 ，所以 ；
由 ，则 ，化简得 ，所以 ，
又因为为奇函数，其定义域需关于原点对称，由 的解集关于原点对称可得 .
则 ，所以 ，故D正确.
综上，答案是ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的中的系数是______．
答案：5
解析：
思路：由，则分别求出中的与的系数即可求解．
解答过程：，所以展开式中的系数是．
故5
13. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______．
答案：2
解析：
解答过程：由题意得：，则在点处的切线斜率，
又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，
所以，解得.
14. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种.
答案：36
解析：
解答过程：显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A；
（2）若，边中线长为1，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）采用正弦定理，将化为，再结合三角函数恒等变换公式即可求解；
（2）根据，两边平方可得b、c的等式，同时结合余弦定理再列出b、c相关的等式，联立求解bc的值，最后由三角形的面积公式即可求解．
（1）由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．

16. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）应用计算得出通项公式；
（2）应用裂项相消计算求和结合范围即可证明不等式.
（1）因为，
当时，，所以
当时，，
两式相减可得，所以当时，，
综上，；
（2）因为，
所以，
所以
，
又因为，所以，所以.
17. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）先由菱形性质得，再由投影得平面，故；因且共面，从而证得结果;
（2）以菱形对角线交点为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标与，，，设平面的法向量并由线线垂直列方程求解，再利用线面角公式计算正弦值.
（1）证明：在菱形中，对角线互相垂直，所以，
因为在底面上的投影为，所以平面，
又平面，故.
又平面，平面，，
所以平面.
（2）由，，得，，，
如图1，作于点，则.
因为平面平面，交线为，所以平面.
以为原点，OB，OC，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则n⋅DE=0n⋅BE=0，即
令，得，，故.
设直线与平面所成的角为，，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）．
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析．
（1）求此次分析触发预警的概率；
（2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”．
（i）求；
（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？
答案：（1）0.0547
（2）（i）（ii）答案见解析
解析：
（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”．
由题知：，，，．
由全概率公式：
所以，触发预警的概率为0.0547．
（2）（i）由贝叶斯公式：
，
所以，在预警条件下确实患病的概率约为．
（ii）含义解释：
由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率，
它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题；
是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，
反映了该手环识别真实病例的能力；
决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接．
理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号，
用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据．
而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，
故对个人就诊决策的参考相对间接．
19. 已知函数，.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，证明：；
（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）求导，根据导数的几何意义计算求解；
（2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证；
（3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可.
（1）当时，，，
则切线斜率，，
所以切线方程为，即，
（2）当时，只需证明，，
当时，，，此时成立，
当时，令，，
令，则，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
因为，所以时，，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以在区间上单调递增，，
所以，
综上可得成立.
（3）任意的，恒成立，只需要，
又是增函数，，，，
故由零点存在性定理可知，，使得，
此时，由题设及可知，，解得，
当，，故单调递减，
当，，单调递增，
所以，取得极小值也是最小值，所以，
所以，得，
则，
令，
得到，得（舍去）或，
当，0单调递增，当，，单调递减，
所以时，取得极大值也是最大值，
所以，故的最大值是.
0
1
2
3
0.3
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
0.3
0.3
0.2
0.1