2025-2026学年广东省汕头市第一中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省汕头市第一中学高二（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.的值为（ ）
A. 1B. -1C. iD. -i
2.已知集合A={2，5，8}，B={a-1，2}，则“a=6”是“A∩B=B”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知随机变量X的分布列为
设函数f（x）=P（X＜x），若x∈[0，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A. {0.2，0.3，0.4}B. {0.3，0.5，0.7}C. {0.3，0.4，0.7}D. {0.4，0.7，0.9}
4.已知α∈（0，π），且3cs2α-8csα=5，则sinα=（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ）
A. B. 2C. D.
6.已知定义在[-3，4]上的函数f（x）的大致图像如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式xf′（x）＞0的解集为（ ）
A.
B. （-3，-2）
C.
D. （3，4）
7.甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上满足|PF1|=2|PF2|，且∠F1PF2=60°，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列式子求导正确的是（ ）
A. B. （sin2026）′=cs2026
C. （2x）′=x2x-1D.
10.在等差数列{an}中，记公差为d,a10＜0，a11＞0，a11＞|a10|，则下列结论正确的有（ ）
A. d＞0B. ∀n∈N*，Sn≥S10
C. S19＜0D. S20＜0
11.函数f（x）=lnx,，则下列结论正确的有（ ）
A. 若a=1，则函数f（g（x））在（-1，1）上单调递减
B. g（2025）+g（-2027）=-2
C. 方程f（x）=g（x）可能无解
D. 若f（g（x））为奇函数，则g（f（a））=a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2-x3）（x+1）5的展开式的中x4的系数是 .
13.若函数f（x）=（x2+ax）eax+1的图象在点（0，1）处的切线与直线x+2y+4=0互相垂直，则a= .
14.将集合{1，2，⋯，12}划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足.
（1）求角A；
（2）若，BC边中线AD长为1，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：.
17.(本小题15分)
如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，且AB=2，三角形ADE是正三角形，平面ADE⊥平面ABCD.点F在平面ABCD上的投影为BD与AC的交点O，且.
（1）证明：BD⊥平面AOF；
（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警.据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%.手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）.
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析.
（1）求此次分析触发预警的概率；
（2）记事件A为“此次分析触发预警”，事件B为“该用户确实患病”.
（i）求P（B|A）；
（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明P（B|A）与P（A|B）=0.99在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx,a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）当a=0时，证明：f（x）＜ex+x-1；
（3）若a＞0，b∈R，对任意的x＞0，f（x）≥b-a恒成立，求b+2a的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】5
13.【答案】2
14.【答案】36
15.【答案】；

16.【答案】 因为，
所以，
所以
=，
又因为n∈N*，所以，所以
17.【答案】在菱形ABCD中，对角线互相垂直，所以AC⊥BD，
因为F在底面ABCD上的投影为O，所以FO⊥平面ABCD，
又因为BD⊂平面ABCD，所以FO⊥BD，
又因为AC⊂平面AOF，OF⊂平面AOF，AC∩OF=O，
所以BD⊥平面AOF
18.【答案】0.0547 （i）9.05%．
（ii）含义解释：
由（i）P（B|A）=9.05%，表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率，
它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题，
P（A|B）=99%是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，
反映了该手环识别真实病例的能力．
决策参考分析：对收到预警的个人而言，
P（B|A）=9.05%的参考价值更大、更直接．
理由：该值从群体基础患病率0.5显著提升至9.05%，
构成了明确的个人健康风险信号，
用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据，
而P（A|B）=99%描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，
∴对个人就诊决策的参考相对间接
19.【答案】 证明：由题意函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R，
当a=0时，只需证明xlnx＜ex+x-1，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，xlnx＜0，ex+x-1＞0，此时xlnx＜ex+x-1成立，
当x∈[1，+∞）时，令g（x）=ex+x-1-xlnx，g′（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx，
令m（x）=ex-lnx，则，
因为在区间[1，+∞）上单调递减，y=ex在区间[1，+∞）上单调递增，
所以m′（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
因为m′（1）=e-1＞0，所以x∈[1，+∞）时，m′（x）＞0，
所以g′（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以g′（x）min=g′（1）=e-ln1=e＞0，
所以g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）=e+1-1-1ln1=e＞0，
所以xlnx＜ex+x-1，
综上可得xlnx＜ex+x-1成立 3 e3 X
-1
0
1
2
3
P
0.3
a
0.3
0.2
0.1