2025--2026学年广东省韶关市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东省韶关市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）

A. 估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B. 估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C. 估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D. 估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
4. 已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
5. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
8. 设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 对任意，点均在第一象限D. 存在，使得点在第二象限
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数单调递增
B. 函数值域为
C. 函数的图象关于对称
D. 函数的图象关于对称
11. 某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检．已知每轮抽到A产品的概率为，每轮抽检中抽到B产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k，单轮抽检中抽检的次数为x，则（ ）
A. 若，则
B. 当时，取得最大值
C. 若一轮抽检中x的很大取值为M，
D. 恒成立
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1分．
12. 已知gx=x3+2x−1,x>0,fx,x0 ，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为g2=23+22−1=11 ，结合单调性知gx=11 ，可得，
因为时，，结合为偶函数，
由，可得，且fa=ga=g−a，
又，所以g−a=11 ，所以，解得
故的值．
13. 若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则______．
答案：
解析：
思路：由三角函数的周期公式求出，再由正弦型函数的对称中心即可求出.
解答过程：由得，，所以，
又的图象关于点中心对称，
所以,解得，又，
所以，.
故
14. 对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为__________．
答案：2016
解析：
思路：求出和式中原数列中各项出现的次数即可得解.
解答过程：数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个，
含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个，
因此和式中，数列中的每一项，都出现次，
所以所求和为.
故2016
方法提示：关键点点睛：利用组合计数问题求出给定数列的每一项在和式中出现的次数是求得和的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解；
（2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
（1）由，得，解得，
，则．
（2）由题意，
又，，解得，
则，，，
，
即向量与的夹角的余弦值为．
16. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围.
答案：（1）递减区间为，无递增区间；
（2）.
解析：
思路：（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.
（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.
（1）依题意，函数的定义域为，
求导得，当且仅当时取等号，
即在上单调递减，
所以函数的递减区间为，无递增区间.
（2）当时，恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，则当时，，
令，依题意，，恒成立，
令，求导得，则函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以实数m的取值范围.
方法提示：关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
17. 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行.
（1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；
（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；
（3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）.
答案：（1）
（2）分布列见解析，
（3）解析：
思路：（1）根据独立事件概率公式计算即可；
（2）结合条件概率先求离散型随机变量的分布列再求出数学期望；
（3）结合等比数列的通项公式求出.
（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则
（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
．
（3）①
②
②－①得：
，
18. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）原点不存在“上位点”，理由见解析
（2）点的坐标为，点的坐标为
（3）存在，
解析：
思路：（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可；
（2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标；
（3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可.
（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
方法提示：方法点睛：
（1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析；
（2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式.
19. 已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，．
（1）求，的通项公式；
（2）将数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，…，求数列的前项和；
（3）是否存在数列，满足成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2） （3）存在；
解析：
思路：（1）分别设出数列，的公差以及公比，再根据题意列等式求解即可.
（2）根据分组求和以及等差、等比的前n项和公式求解即可.
（3）根据数列的通项公式化简，再根据错位相减法求解即可.
（1）设等差数列的公差为，由，，
可知，所以．
又，所以数列的公差，
所以数列的通项公式为．
设等比数列的公比为，由，，
可知，，即，联立得，
解得或（舍去），代入中，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）=a1+a2n+22n+22+21−22n+11−2=4n+1+2n2+9n+5 ．
（3）由得①，
当时，dn−1+2dn−2+3dn−3+⋯+n−1d1=2n−n−1 ②，
①②两式相减得：，
当时，也符合③，
所以，对于都成立．
又当时④成立，
③④两式相减得：，经检验也符合，
故存在满足该式成立．2
3
4