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河南省信阳高级中学2022-2023学年高一下学期期末测试数学试题
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这是一份河南省信阳高级中学2022-2023学年高一下学期期末测试数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题
1．（5分）设命题p：，命题q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为f（x）＝（ ）
A．x+4 B．2﹣x C．3﹣|x+1| D．2﹣|x+1|
3．（5分）已知复数z1＝cosα+isinα和复数z2＝cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是（ ）
A．sin（α﹣β） B．sin（α+β） C．cos（α﹣β） D．cos（α+β）
4．（5分）将函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是最小正周期为2π的奇函数
B．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
C．g（x）在（π，2π）上单调递减
D．g（x）在上的最小值为
5．（5分）已知非零向量，满足，且，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P1；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P2，则（ ）
A．P1＞P2 B．P1＝P2
C．P1＜P2 D．以上三种情况都有可能
8．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，F点在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线AC1与直线EF可能异面
B．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形AEF可能是钝角三角形
D．四棱锥A﹣CEF的体积保持不变
二、多选题
（多选）9．（5分）王老师往返两地的速度分别为m和n（m＜n），全程的平均速度为v，则（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）已知数据①：x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为5．数据②：，，则下列说法正确的有（ ）
A．数据①与数据②的极差相同
B．数据②的平均数为
C．数据①与数据②的中位数不同
D．数据②的标准差为
（多选）11．（5分）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件p＝6与A＝0互斥
C． D．事件q＝1与A＝0对立
（多选）12．（5分）定义：已知两个非零向量与的夹角为θ．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ）
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则
B．在正△ABC中，若，则
C．若，则的最小值为2
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题
13．（5分）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为
14．（5分）已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ．
16．（5分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝2，BE∥CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE，则BE+CD的最小值为 ．
四、解答题
17．（10分）已知函数的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
18．（12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
19．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
20．（12分）如图，在已知圆周上有四点A、B、C、D，BA＝BC＝5，，
（1）求AD的长以及四边形ABCD的面积；
（2）设∠CDB＝α，∠DBC＝β，求sin（2α+β）的值．
21．（12分）如图，AB为半球M的直径，C为上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC
（1）证明：PB⊥PC；
（2）若AC＝AM＝2，，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
22．（12分）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
2022-2023学年河南省信阳高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）设命题p：，命题q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，推出充分性成立，结合特殊值法，推出必要性不成立，即可求解．
【解答】解：x1＞1，x2＞1，
则x1+x2＞2，x1x2＞1，故命题p能推出q，充分性成立，
令x1＝0.5，x2＝3，满足，但x1＜1，故命题q不能推出p，必要性不成立，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
2．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为f（x）＝（ ）
A．x+4 B．2﹣x C．3﹣|x+1| D．2﹣|x+1|
【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）＝x，可得答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，
∴x∈[﹣2，﹣1]时，
2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，
x∈[﹣1，0]时，
﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，
综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|
故选：C．
【点评】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
3．（5分）已知复数z1＝cosα+isinα和复数z2＝cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是（ ）
A．sin（α﹣β） B．sin（α+β） C．cos（α﹣β） D．cos（α+β）
【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求出复数的实部，化简计算即可，
【解答】解：z1•z2＝（cosα+isinα）•（cosβ+isinβ）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ+（sinαcosβ+cosαsinβ）i．
∴复数z1•z2的实部是：cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β）．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，棣莫佛定理的应用，考查计算能力．
4．（5分）将函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是最小正周期为2π的奇函数
B．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
C．g（x）在（π，2π）上单调递减
D．g（x）在上的最小值为
【分析】根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可．
【解答】解：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
对于A，，所以g（x）是偶函数，故A错误；
对于B，g（x）的最小正周期为，故B错误；
对于C，当x∈（π，2π），2x∈（2π，4π），
所以g（x）在（π，2π）上不单调，故C错误；
对于D，时，2x∈[0，π]，所以cos2x∈[﹣1，1]，所以，
所以g（x）在上的最小值为，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）已知非零向量，满足，且，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【分析】由左右互除得出B＝C，再由，得出，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴cos＜，＞＝cos＜，＞，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵，
∴，
∴，又A∈（0，π），所以，
∴△ABC为等边三角形，
故选：D．
【点评】本题主要教材了向量数量积的性质在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
6．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设初中部20名党员表示为ai，i＝1，2，3，•••，20，高中部50名党员表示为bj，j＝1，2，3，•••，50，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（+2），由此能求出结果．
【解答】解：某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，
其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2，
高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为，a＝b，
设初中部20名党员表示为ai，i＝1，2，3，•••，20，高中部50名党员表示为bj，j＝1，2，3，•••，50，
则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为：
（+2）＝（20×2+50×）＝．
故选：D．
【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P1；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P2，则（ ）
A．P1＞P2 B．P1＝P2
C．P1＜P2 D．以上三种情况都有可能
【分析】根据概率公式求出P1和P2，即可求得答案．
【解答】解：∵6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
∴，
∵6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
∴，
∴P1＞P2．
故选：A．
【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题．
8．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，F点在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线AC1与直线EF可能异面
B．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形AEF可能是钝角三角形
D．四棱锥A﹣CEF的体积保持不变
【分析】如图所示，连接有关线段．设M，N为AC，A1C1的中点，MN的中点为O，可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到AC⊥EF，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定C；利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定D．
【解答】解：如图所示，连接有关线段．
设M，N为AC，A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O，则AC1的中点也是O，
又∵DE＝B1F，由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O，故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC⊥平面BB1D1D，
因为EF⊂平面BB1D1D，∴AC⊥EF，故B错误；
设AB＝a，则AA1＝2a，设DE＝B1F＝x，0＜x＜2a，
易得AE2＝a2+x2，AF2＝a2+（2a﹣x）2＝5a2﹣4ax+x2，
EF2＝2a2+（2a﹣2x）2＝6a2﹣8ax+4x2，
因为AE2+AF2﹣EF2＝4ax﹣2x2＝2x（2a﹣x）＞0，
则∠EAF为锐角；
因为AE2+EF2﹣AF2＝2a2﹣4ax+2x2＝2（a﹣x）2＞0，
则∠AEF为锐角，
因为AF2+EF2﹣AE2＝10a2﹣12ax+4x2，
当时取得最小值为10a2﹣18a2+9a2＝a2＞0，
则∠AFE为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A﹣EFC也可以看作F﹣AOC和E﹣AOC的组合体，
由于△AOC是固定的，E，F到平面AOC的距离是不变的
（∵易知BB1，DD1平行于平面ACC1A1），故体积不变，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，异面直线的判定，棱柱的结构特征等知识，属于中等题．
二、多选题
（多选）9．（5分）王老师往返两地的速度分别为m和n（m＜n），全程的平均速度为v，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】设两地路程为s，则全程的平均速度v＝＝，再结合基本不等式逐个判断各个选项即可．
【解答】解：设两地路程为s，则全程所需的时间为，
则全程的平均速度v＝＝，故B正确，A错误，
又由m＞0，n＞0，及基本不等式，可得v＝＝，
又v﹣m＝﹣m＝＝0，
所以v＞m，
即m＜v＜，故D正确，C错误．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知数据①：x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为5．数据②：，，则下列说法正确的有（ ）
A．数据①与数据②的极差相同
B．数据②的平均数为
C．数据①与数据②的中位数不同
D．数据②的标准差为
【分析】根据题意，由极差、平均数、中位数和方差的定义和性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据①的极差为a，则数据②的极差为a﹣3，两者不同，A错误；
对于B，数据②的平均数＝×10﹣3＝﹣，B正确；
对于C，由中位数的定义，数据①与数据②的中位数不同，C正确；
对于D，数据②的方差为（）2×5＝，则其标准差为，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及极差、中位数的分析，属于基础题．
（多选）11．（5分）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件p＝6与A＝0互斥
C． D．事件q＝1与A＝0对立
【分析】分别理解p，q的实际意义，理解对立事件的意义，明确，其中[x]表示不超过x的最大整数即可得．
【解答】解：若p+q＝5，，A错误；
若p＝6，则恒成立，即事件p＝6与A＝0不可能同时发生，
∴事件p＝6与A＝0互斥，B正确；
，C正确；
∵A所有取值为0，1，2，3，4，5，6，
当q＝1，所有取值为1，2，3，4，5，6，
所以事件q＝1与A＝0对立，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
（多选）12．（5分）定义：已知两个非零向量与的夹角为θ．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ）
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则
B．在正△ABC中，若，则
C．若，则的最小值为2
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断．
【解答】解：平行四边形ABCD的面积为4，∴，即，故A正确；
设正△ABC的边BC边上的中点为E，可得，
已知，∴＝，
则，故B错误；
∵，∴，
∵，∴，
两式作比可得，，
∵∈[0，π]，∴＝，可得，
∴，当且仅当时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
若，，且为单位向量，当，，，＝时，
，
可得，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题
13．（5分）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为 60
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，
那么应抽取高二年级学生的人数为．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14．（5分）已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为 ．
【分析】由诱导公式对已知进行化简，sin[]+sin2[]＝sin（α+），代入即可求解．
【解答】解：∵
＝sin[]+sin2[]
＝sin（α+）
＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用诱导公式及拆角技巧在三角化简求值中的应用，属于中档试题．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 [﹣6，4] ．
【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可．
【解答】解：由题知，△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，
若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，
则A为PQ的中点，，
因为，
所以＝，
因为，即，
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是[﹣6，4]．
故答案为：[﹣6，4]．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝2，BE∥CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE，则BE+CD的最小值为 2 ．
【分析】如图所示，取BC的中点O，连接OA，建立空间直角坐标系．设OA＝c，CD＝b，BE＝a．由AE⊥BD，可得•＝0，再根据基本不等式的性质即可得出|CD|+|BE|的最小值．
【解答】解：如图所示，
取BC的中点O，连接OA，建立空间直角坐标系．设OA＝c，CD＝b，BE＝a．
O（0，0，0），A（c，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E（0，1，a），D（0，﹣1，b），
＝（﹣c，1，a），＝（0，2，﹣b），
∵AE⊥BD，
∴•＝2﹣ab＝0，
∴|CD|+|BE|＝a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴BE+CD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间直角坐标系的应用、向量垂直与数量积的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四、解答题
17．（10分）已知函数的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
【分析】（1）先化简f（x）的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值；
（2）利用整体代换法即可求得函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
【解答】解：（1）
＝，
由函数f（x）的最大值为，可得，
解之得m＝﹣1．
（2）由（1）可得，
由，可得，
则函数f（x）的单调递增区间为；
由，可得，
则函数f（x）的对称中心为，k∈Z．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调性和对称中心的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18．（12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【分析】（Ⅰ）可得出，然后根据A，E，C三点共线可得出，从而可得出，然后即可求出；
（Ⅱ）可得出，然后代入的坐标即可；
（Ⅲ）根据题意得出，可设A（x，y），然后可得出，然后解出x，y的值，从而可得出点A的坐标．
【解答】解：（Ⅰ），
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，共线向量和平面向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；
（2）利用平均数和中位数公式求解；
（3）分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解．
【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，得a＝0.03，
因为0.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人），所以不高于50分的抽5×＝2（人）；
（2）平均数＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，
因为在[40，70]内共有80人，则中位数位于[70，80]内，则中位数为70+10＝；
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则P（A）＝＝，
故至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20．（12分）如图，在已知圆周上有四点A、B、C、D，BA＝BC＝5，，
（1）求AD的长以及四边形ABCD的面积；
（2）设∠CDB＝α，∠DBC＝β，求sin（2α+β）的值．
【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求AD，△CBD中，由余弦定理可求CD，进而可求面积；
（2）由正弦定理可求sinα＝，进而求cosα，利用sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]可求值．
【解答】解：（1）∵，∴sin∠DAB＝，cos∠DCB＝﹣cos∠DAB＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠DAB，
∴45＝25+AD2﹣2×5×AD×（﹣），解得AD2+8AD﹣20，解得AD＝2或AD＝﹣10（舍去），
在△CBD中，由余弦定理可得BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CDcos∠DCB，
45＝25+CD2﹣8CD，解得CD＝10或AD＝﹣2（舍去），
所以S＝S△ABD+S△BCD＝AB×AD×sin∠DAB+BC×CD×sin∠DCB＝×5×2×+×5×10×＝18；
（2）在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，sinα＝，
∵DC2+DB2＞BC2，∴α是锐角，∴cosα＝，
又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝sinA＝，
∴cos（α+β）＝﹣cosC＝cosA＝﹣，
∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）＝．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
21．（12分）如图，AB为半球M的直径，C为上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC
（1）证明：PB⊥PC；
（2）若AC＝AM＝2，，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
【分析】（1）由AC⊥BC，AC⊥PC可得AC⊥平面PBC，进而可得AC⊥PB，又由于PA⊥PB，所以可得PB⊥平面PAC，即可得PB⊥PC；
（2）利用等体积法求得点C到平面PAB的距离为h＝，设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则有sinθ＝，即可得答案．
【解答】证明：（1）因为AB为半球M的直径，C为上一点，
所以AC⊥BC，
又因为AC⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，
又因为PB⊂平面PBC，
所以AC⊥PB，
又因为P为半球面上一点，
所以PA⊥PB，
又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以PB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，
所以PB⊥PC；
解：（2）因为三角形ABC为直角三角形，AB＝2AM＝4，AC＝2，
所以BC＝2，
又因为PB＝，PB⊥平面PAC，
所以PC＝，
又因为三角形PAB也是直角三角形，
所以PA＝，
所以S△PAC＝＝＝，S△PAB＝＝＝，
设点C到平面PAB的距离为h，
则有VC﹣PAB＝VB﹣PAC，
即•h＝•PB，
所以h＝＝＝，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
22．（12分）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分；或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答对一题得0分，第二轮答对两题得60分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论．
【解答】解：（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有{（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）}共10种，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，
则小明在第一轮得40分，有{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}共6种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：1﹣＝，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，
∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P1＝0.5×0.5×[0.5×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.5]＝0.125，
P2＝×（0.4×0.6+0.6×0.4）＝0.228；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P3＝0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625，
P4＝×0.4×0.4＝0.096；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P5＝[0.5×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.5]×0.5×0.5＝0.125，
P6＝×0.4×0.4＝0.064；
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
P7＝（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.5×0.5＝0.0625；
∴小芳晋级复赛的概率为：P1+P3+P5+P7＝0.125+0.0625+0.125+0.0625＝0.375；
小明晋级复赛的概率为：P2+P4+P6＝0.288+0.096+0.064＝0.448；
∵0.448＞0.375，
∴小明更容易晋级复赛．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
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2022-2023学年河南省信阳高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题
1．（5分）设命题p：，命题q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为f（x）＝（ ）
A．x+4 B．2﹣x C．3﹣|x+1| D．2﹣|x+1|
3．（5分）已知复数z1＝cosα+isinα和复数z2＝cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是（ ）
A．sin（α﹣β） B．sin（α+β） C．cos（α﹣β） D．cos（α+β）
4．（5分）将函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是最小正周期为2π的奇函数
B．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
C．g（x）在（π，2π）上单调递减
D．g（x）在上的最小值为
5．（5分）已知非零向量，满足，且，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P1；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P2，则（ ）
A．P1＞P2 B．P1＝P2
C．P1＜P2 D．以上三种情况都有可能
8．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，F点在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线AC1与直线EF可能异面
B．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形AEF可能是钝角三角形
D．四棱锥A﹣CEF的体积保持不变
二、多选题
（多选）9．（5分）王老师往返两地的速度分别为m和n（m＜n），全程的平均速度为v，则（ ）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）已知数据①：x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为5．数据②：，，则下列说法正确的有（ ）
A．数据①与数据②的极差相同
B．数据②的平均数为
C．数据①与数据②的中位数不同
D．数据②的标准差为
（多选）11．（5分）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件p＝6与A＝0互斥
C． D．事件q＝1与A＝0对立
（多选）12．（5分）定义：已知两个非零向量与的夹角为θ．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ）
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则
B．在正△ABC中，若，则
C．若，则的最小值为2
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题
13．（5分）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为
14．（5分）已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ．
16．（5分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝2，BE∥CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE，则BE+CD的最小值为 ．
四、解答题
17．（10分）已知函数的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
18．（12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
19．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
20．（12分）如图，在已知圆周上有四点A、B、C、D，BA＝BC＝5，，
（1）求AD的长以及四边形ABCD的面积；
（2）设∠CDB＝α，∠DBC＝β，求sin（2α+β）的值．
21．（12分）如图，AB为半球M的直径，C为上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC
（1）证明：PB⊥PC；
（2）若AC＝AM＝2，，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
22．（12分）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
2022-2023学年河南省信阳高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）设命题p：，命题q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，推出充分性成立，结合特殊值法，推出必要性不成立，即可求解．
【解答】解：x1＞1，x2＞1，
则x1+x2＞2，x1x2＞1，故命题p能推出q，充分性成立，
令x1＝0.5，x2＝3，满足，但x1＜1，故命题q不能推出p，必要性不成立，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
2．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为f（x）＝（ ）
A．x+4 B．2﹣x C．3﹣|x+1| D．2﹣|x+1|
【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）＝x，可得答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，
∴x∈[﹣2，﹣1]时，
2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，
x∈[﹣1，0]时，
﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，
综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|
故选：C．
【点评】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
3．（5分）已知复数z1＝cosα+isinα和复数z2＝cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是（ ）
A．sin（α﹣β） B．sin（α+β） C．cos（α﹣β） D．cos（α+β）
【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求出复数的实部，化简计算即可，
【解答】解：z1•z2＝（cosα+isinα）•（cosβ+isinβ）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ+（sinαcosβ+cosαsinβ）i．
∴复数z1•z2的实部是：cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β）．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，棣莫佛定理的应用，考查计算能力．
4．（5分）将函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g（x）是最小正周期为2π的奇函数
B．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
C．g（x）在（π，2π）上单调递减
D．g（x）在上的最小值为
【分析】根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可．
【解答】解：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
对于A，，所以g（x）是偶函数，故A错误；
对于B，g（x）的最小正周期为，故B错误；
对于C，当x∈（π，2π），2x∈（2π，4π），
所以g（x）在（π，2π）上不单调，故C错误；
对于D，时，2x∈[0，π]，所以cos2x∈[﹣1，1]，所以，
所以g（x）在上的最小值为，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）已知非零向量，满足，且，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【分析】由左右互除得出B＝C，再由，得出，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴cos＜，＞＝cos＜，＞，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵，
∴，
∴，又A∈（0，π），所以，
∴△ABC为等边三角形，
故选：D．
【点评】本题主要教材了向量数量积的性质在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
6．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设初中部20名党员表示为ai，i＝1，2，3，•••，20，高中部50名党员表示为bj，j＝1，2，3，•••，50，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（+2），由此能求出结果．
【解答】解：某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，
其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2，
高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为，a＝b，
设初中部20名党员表示为ai，i＝1，2，3，•••，20，高中部50名党员表示为bj，j＝1，2，3，•••，50，
则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为：
（+2）＝（20×2+50×）＝．
故选：D．
【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P1；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为P2，则（ ）
A．P1＞P2 B．P1＝P2
C．P1＜P2 D．以上三种情况都有可能
【分析】根据概率公式求出P1和P2，即可求得答案．
【解答】解：∵6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
∴，
∵6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回，
实验的情况的总数为：，
当先后从中取出两张．若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数，
情况的总数为：，
∴，
∴P1＞P2．
故选：A．
【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题．
8．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，F点在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线AC1与直线EF可能异面
B．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形AEF可能是钝角三角形
D．四棱锥A﹣CEF的体积保持不变
【分析】如图所示，连接有关线段．设M，N为AC，A1C1的中点，MN的中点为O，可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到AC⊥EF，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定C；利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定D．
【解答】解：如图所示，连接有关线段．
设M，N为AC，A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O，则AC1的中点也是O，
又∵DE＝B1F，由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O，故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC⊥平面BB1D1D，
因为EF⊂平面BB1D1D，∴AC⊥EF，故B错误；
设AB＝a，则AA1＝2a，设DE＝B1F＝x，0＜x＜2a，
易得AE2＝a2+x2，AF2＝a2+（2a﹣x）2＝5a2﹣4ax+x2，
EF2＝2a2+（2a﹣2x）2＝6a2﹣8ax+4x2，
因为AE2+AF2﹣EF2＝4ax﹣2x2＝2x（2a﹣x）＞0，
则∠EAF为锐角；
因为AE2+EF2﹣AF2＝2a2﹣4ax+2x2＝2（a﹣x）2＞0，
则∠AEF为锐角，
因为AF2+EF2﹣AE2＝10a2﹣12ax+4x2，
当时取得最小值为10a2﹣18a2+9a2＝a2＞0，
则∠AFE为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A﹣EFC也可以看作F﹣AOC和E﹣AOC的组合体，
由于△AOC是固定的，E，F到平面AOC的距离是不变的
（∵易知BB1，DD1平行于平面ACC1A1），故体积不变，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，异面直线的判定，棱柱的结构特征等知识，属于中等题．
二、多选题
（多选）9．（5分）王老师往返两地的速度分别为m和n（m＜n），全程的平均速度为v，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】设两地路程为s，则全程的平均速度v＝＝，再结合基本不等式逐个判断各个选项即可．
【解答】解：设两地路程为s，则全程所需的时间为，
则全程的平均速度v＝＝，故B正确，A错误，
又由m＞0，n＞0，及基本不等式，可得v＝＝，
又v﹣m＝﹣m＝＝0，
所以v＞m，
即m＜v＜，故D正确，C错误．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知数据①：x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为5．数据②：，，则下列说法正确的有（ ）
A．数据①与数据②的极差相同
B．数据②的平均数为
C．数据①与数据②的中位数不同
D．数据②的标准差为
【分析】根据题意，由极差、平均数、中位数和方差的定义和性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据①的极差为a，则数据②的极差为a﹣3，两者不同，A错误；
对于B，数据②的平均数＝×10﹣3＝﹣，B正确；
对于C，由中位数的定义，数据①与数据②的中位数不同，C正确；
对于D，数据②的方差为（）2×5＝，则其标准差为，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及极差、中位数的分析，属于基础题．
（多选）11．（5分）连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p，第二次向上的点数为q，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件p＝6与A＝0互斥
C． D．事件q＝1与A＝0对立
【分析】分别理解p，q的实际意义，理解对立事件的意义，明确，其中[x]表示不超过x的最大整数即可得．
【解答】解：若p+q＝5，，A错误；
若p＝6，则恒成立，即事件p＝6与A＝0不可能同时发生，
∴事件p＝6与A＝0互斥，B正确；
，C正确；
∵A所有取值为0，1，2，3，4，5，6，
当q＝1，所有取值为1，2，3，4，5，6，
所以事件q＝1与A＝0对立，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
（多选）12．（5分）定义：已知两个非零向量与的夹角为θ．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ）
A．若平行四边形ABCD的面积为4，则
B．在正△ABC中，若，则
C．若，则的最小值为2
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断．
【解答】解：平行四边形ABCD的面积为4，∴，即，故A正确；
设正△ABC的边BC边上的中点为E，可得，
已知，∴＝，
则，故B错误；
∵，∴，
∵，∴，
两式作比可得，，
∵∈[0，π]，∴＝，可得，
∴，当且仅当时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
若，，且为单位向量，当，，，＝时，
，
可得，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题
13．（5分）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为 60
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，
那么应抽取高二年级学生的人数为．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14．（5分）已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为 ．
【分析】由诱导公式对已知进行化简，sin[]+sin2[]＝sin（α+），代入即可求解．
【解答】解：∵
＝sin[]+sin2[]
＝sin（α+）
＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用诱导公式及拆角技巧在三角化简求值中的应用，属于中档试题．
15．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 [﹣6，4] ．
【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可．
【解答】解：由题知，△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，
若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，
则A为PQ的中点，，
因为，
所以＝，
因为，即，
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是[﹣6，4]．
故答案为：[﹣6，4]．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝2，BE∥CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE，则BE+CD的最小值为 2 ．
【分析】如图所示，取BC的中点O，连接OA，建立空间直角坐标系．设OA＝c，CD＝b，BE＝a．由AE⊥BD，可得•＝0，再根据基本不等式的性质即可得出|CD|+|BE|的最小值．
【解答】解：如图所示，
取BC的中点O，连接OA，建立空间直角坐标系．设OA＝c，CD＝b，BE＝a．
O（0，0，0），A（c，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E（0，1，a），D（0，﹣1，b），
＝（﹣c，1，a），＝（0，2，﹣b），
∵AE⊥BD，
∴•＝2﹣ab＝0，
∴|CD|+|BE|＝a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴BE+CD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间直角坐标系的应用、向量垂直与数量积的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四、解答题
17．（10分）已知函数的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
【分析】（1）先化简f（x）的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值；
（2）利用整体代换法即可求得函数f（x）的单调递增区间及图象的对称中心．
【解答】解：（1）
＝，
由函数f（x）的最大值为，可得，
解之得m＝﹣1．
（2）由（1）可得，
由，可得，
则函数f（x）的单调递增区间为；
由，可得，
则函数f（x）的对称中心为，k∈Z．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的单调性和对称中心的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18．（12分）已知，是平面内两个不共线的非零向量＝2+，＝﹣+λ，＝﹣2+，且A，E，C三点共线．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）若＝（2，1），＝（2，﹣2），求的坐标；
（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【分析】（Ⅰ）可得出，然后根据A，E，C三点共线可得出，从而可得出，然后即可求出；
（Ⅱ）可得出，然后代入的坐标即可；
（Ⅲ）根据题意得出，可设A（x，y），然后可得出，然后解出x，y的值，从而可得出点A的坐标．
【解答】解：（Ⅰ），
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，共线向量和平面向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；
（2）利用平均数和中位数公式求解；
（3）分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解．
【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，得a＝0.03，
因为0.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人），所以不高于50分的抽5×＝2（人）；
（2）平均数＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，
因为在[40，70]内共有80人，则中位数位于[70，80]内，则中位数为70+10＝；
（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则P（A）＝＝，
故至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20．（12分）如图，在已知圆周上有四点A、B、C、D，BA＝BC＝5，，
（1）求AD的长以及四边形ABCD的面积；
（2）设∠CDB＝α，∠DBC＝β，求sin（2α+β）的值．
【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求AD，△CBD中，由余弦定理可求CD，进而可求面积；
（2）由正弦定理可求sinα＝，进而求cosα，利用sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]可求值．
【解答】解：（1）∵，∴sin∠DAB＝，cos∠DCB＝﹣cos∠DAB＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠DAB，
∴45＝25+AD2﹣2×5×AD×（﹣），解得AD2+8AD﹣20，解得AD＝2或AD＝﹣10（舍去），
在△CBD中，由余弦定理可得BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CDcos∠DCB，
45＝25+CD2﹣8CD，解得CD＝10或AD＝﹣2（舍去），
所以S＝S△ABD+S△BCD＝AB×AD×sin∠DAB+BC×CD×sin∠DCB＝×5×2×+×5×10×＝18；
（2）在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，sinα＝，
∵DC2+DB2＞BC2，∴α是锐角，∴cosα＝，
又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝sinA＝，
∴cos（α+β）＝﹣cosC＝cosA＝﹣，
∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）＝．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
21．（12分）如图，AB为半球M的直径，C为上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC
（1）证明：PB⊥PC；
（2）若AC＝AM＝2，，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
【分析】（1）由AC⊥BC，AC⊥PC可得AC⊥平面PBC，进而可得AC⊥PB，又由于PA⊥PB，所以可得PB⊥平面PAC，即可得PB⊥PC；
（2）利用等体积法求得点C到平面PAB的距离为h＝，设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则有sinθ＝，即可得答案．
【解答】证明：（1）因为AB为半球M的直径，C为上一点，
所以AC⊥BC，
又因为AC⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，
又因为PB⊂平面PBC，
所以AC⊥PB，
又因为P为半球面上一点，
所以PA⊥PB，
又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以PB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，
所以PB⊥PC；
解：（2）因为三角形ABC为直角三角形，AB＝2AM＝4，AC＝2，
所以BC＝2，
又因为PB＝，PB⊥平面PAC，
所以PC＝，
又因为三角形PAB也是直角三角形，
所以PA＝，
所以S△PAC＝＝＝，S△PAB＝＝＝，
设点C到平面PAB的距离为h，
则有VC﹣PAB＝VB﹣PAC，
即•h＝•PB，
所以h＝＝＝，
设直线PC与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
22．（12分）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分；或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答对一题得0分，第二轮答对两题得60分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论．
【解答】解：（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有{（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）}共10种，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，
则小明在第一轮得40分，有{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}共6种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：1﹣＝，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，
∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P1＝0.5×0.5×[0.5×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.5]＝0.125，
P2＝×（0.4×0.6+0.6×0.4）＝0.228；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P3＝0.5×0.5×0.5×0.5＝0.0625，
P4＝×0.4×0.4＝0.096；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P5＝[0.5×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.5]×0.5×0.5＝0.125，
P6＝×0.4×0.4＝0.064；
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
P7＝（1﹣0.5）×（1﹣0.5）×0.5×0.5＝0.0625；
∴小芳晋级复赛的概率为：P1+P3+P5+P7＝0.125+0.0625+0.125+0.0625＝0.375；
小明晋级复赛的概率为：P2+P4+P6＝0.288+0.096+0.064＝0.448；
∵0.448＞0.375，
∴小明更容易晋级复赛．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
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