湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

这是一份湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
荆州中学 2025~2026 学年高一下学期 6 月月考
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 z 满足z(3 + 2i) = 13 ，则复数 z 的共轭复数 z 的虚部为( )
A. -2 B. 2 C. -2i D. 2i
【答案】B
【解析】
【详解】因为 z(3 + 2i) = 13 ，所以 z i ，
则z = 3 + 2i ，其虚部为 2．
2. 如图，正方形 O,A,B,C, 的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )
A. 42 B. 82 C. D. 4 【答案】B
【解析】
【详解】在直观图中， O,A, = 2 ，O,B, = 22 ，则在原图形平行四边形 OABC 中 OA = 2 ，OB = 42 ，如图，
所以原图形的面积为 OA´ OB = 2 ´ 42 = 82 .
3. 已知 a ， β , Y 是三个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若m 丄 l, n 丄 l ，则 m / /n B. 若 a 丄 Y ， β 丄 Y ，则 a//β
C. 若m 丄 a ，m∥n ，则 n 丄 a D. 若 a 丄 β , m Ì a ，n Ì β ,则 m 丄 n 【答案】C
【解析】
【分析】在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，利用线线，线面，面面之间的关系判断.
【详解】对于选项 A，分别把 AA1 、BC 、 AB 当作直线m 、n 、l，显然 m 丄 n ，故 A 不正确；
对于选项 B，平面 AA1B1B 、平面 BB1C1C 、平面 ABCD 分别视为平面 a 、 β 、Y ，显然 a ∩ β = BB1 ，故 B 不正确；
对于选项 C ，m 丄 a ，m∥n ，则 n 丄 a ，故 C 正确；
对于选项 D，平面 AA1B1B 、平面 ABCD 分别视为平面 a 、 β , A1B1 , CD 分别视为m, n ，则 m / /n ，故D 不正确.
4. 已知P(-1, 2) 是角 a 终边上一点，则 ( )
1 1
A. -3 B. - C. D. 3
3 3
【答案】D
【解析】
【详解】由已知得： tan a
5. 已知函数f (x ，在 (-∞, +∞ )上是增函数，则a 的取值范围是
A. a > 1 B. a < 2 C. 1 < a < 2 D. 1 < a ≤ 2 【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.
【详解】因为函数 f (x) =〈a(a(x) - 4a + 3(x ≥ 1) ，在 (-∞, +∞ )上是增函数，
所以有 a + 3 ≥ a ，解得1< a ≤ 2 .
故选 D
【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.
6. 已知 △ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c，D 为边 BC 上一点，且 AD 为 ÐBAC 的角平分线，若 ÐBAC AD ，则 b + c 最小值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦面积公式表示出： S△ABC = S△ABD + S△ADC ，化简可得b + c = bc ，即 ，再结合基本不等式中“ 1”的妙用求解.
【详解】如图，Q AD 为角平分线，S△ABC = S△ABD + S△ADC ，
1 1 1
\ . AB . AC . sin ÐBAC = . AB . AD . sin ÐBAD + . AC . AD . sin ÐDAC
2 2 2
即 bc sin AD . c sin AD . b sin 30° ,
化简得b + c = bc 则b + c = 当且仅当c = b = 2 时取等号，故b + c最小值为 4.
7. 在 △ABC 中，D ，E 分别为线段 AB ，BC 上的点，直线 AE ， CD 交于点P ，且满足 ，则
2 A.
3
B.
3
2
3 C.
4
D.
4
3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解．
【详解】
已知 ，由 A, P, E 共线，设 = λ + ， ,故
,故 EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 2(uu),A) = 2 ，故 AP : PE = 2 : 1 ；
设 = μ + (1- ，则 ，即 ，则 ,解得 = ，
由 得出 ，故 CP : PD = 1:1，
由 AP : PE = 2 : 1知，设B 到 AE 的距离为h ，则
由BD : BA = 2 : 3知，设P 到 AB 的距离为h1 ，则 ，即 S△BPD S△BPA ，
8. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，点P 在棱CC1 上，过 A1 , B, P 作截面 a ，过A, B1 , P 作截面 β ,记正方体截面 a 上方部分体积为 V1 ，记正方体截面 β 下方部分体积为V2 ，则V1 + 2V2 的最小值为( )
55 A.
9
B.
59
9
61 C.
9
D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先确定截面 a, β 与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出V1 ， V2 体积，最后求V1 + 2V2 最小值．
【详解】
平面 a 截正方体，设 a 与C1D1 交于P1 ，如左图；平面 β 截正方体，设 β 与 CD 交于P2 ，如右图．
根据对称性，P1C1 = PC1 ， CP2 = CP ．
设C1P = x ，则 CP = 2 - x ，0 ≤ x ≤ 2 ．
V1 是一个棱台，下底面为VA1BB1 ，面积为 ，上底面为VC1PP1 ，面积为 x ´ x
V2 是一个棱台，下底面为VABB1 ，面积为
上底面为VCPP2 ，面积为
当x ，取最小值为 ．
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知一组样本数据：2 ，2 ，0 ，2 ，4 ，1 ，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是( )
A. 极差是 4 B. 众数不等于平均数
6
C. 方差是 D. 75% 分位数是 3 7
【答案】AD
【解析】
【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断A ；出现次数最多的为众数，求出 7 个数据的平均数即可判断B ；根据方差公式求解即可判断 C ；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解D .
【详解】对于 A ，由已知样本数据的最大值为 4 ，最小值为 0 ，所以极差为 4 ，故 A 正确；
对于B ，样本数据的众数为 2 ，平均数为 所以众数等于平均数，故B 错误；
对于C ，方差为 故C 错误；对于D ，将数据按照从小到大的顺序排列可得 0 ，1 ，2 ，2 ，2 ，3 ，4 ，
因为7´ 75% = 5.25，所以 75% 分位数是3，故 D 正确.
故选：AD .
10. 已知函数f (x) = lg (mx2 - mx + 3) ，则下列选项正确的有( )
A. 若f (x) 的定义域为(-2, 3) ，则 m
B. 若f (x) 的定义域为 R，则 m ∈(0,12)
C. 若f (x) 的值域为 R，则 m ∈ [12,+∞ )
D. 若f 上单调递增，则m ∈(0,12)
【答案】AC
【解析】
【分析】对于 A，由 mx2 - mx + 3 > 0的解集为(-2,3) ，得 -2,3 为方程mx2 - mx + 3 = 0的两个根，进而判断；对于 B，由 mx2 - mx + 3 > 0对于x ∈ R 恒成立，进而判断；对于 C，令 t = mx2 - mx + 3 ，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于 D，令 t = mx2 - mx + 3 ，由外函数 y = lgt 为增函数，得
t = mx2 - mx + 3在上单调递增，进而判断.
【详解】对于 A，由 f (x) 的定义域为(-2,3) ，所以 mx2 - mx + 3 > 0的解集为(-2,3) ，所以-2,3 为方程mx2 - mx + 3 = 0的两个根，所以 → m ，故 A 正确；对于 B，由 f (x) 的定义域为R ，所以mx2 - mx + 3 > 0对于x ∈ R 恒成立，
当m = 0 时，3 > 0 满足题意，
当m ≠ 0 时， m < 0 → 0 < m < 12 ，所以m ∈ [0,12)，故 B 错误；
对于 C，由 f (x) 的值域为 R，令 t = mx2 - mx + 3，则 (0,+∞ ) Í {t | t = mx2 - mx + 3} ，当m = 0 时，t = 3 不满足题意，
当m ≠ 0 时， m ≥ 0 → m ≥ 12 ，所以m ∈ [12,+∞ )，故 C 正确；
对于 D，由 f (x)在 上单调递增，令t = mx2 - mx + 3 ，当m = 0 时，t = 3 不满足题意，
当m ≠ 0 时，二次函数t = mx2 - mx + 3 的对称轴为x
由外函数y = lgt 为增函数，所以t = mx2 - mx + 3在上单调递增，所以对于x t > 0 恒成立，
所以 → 0 < m ≤ 12 ，所以m ∈(0,12]，故 D 错误.
11. 如图，M 为棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 表面上的一个动点，则( )
A. 当M 在平面 A1B1C1D1 内运动时，四棱锥M- ABCD 的体积是定值
B. 当M 在直线 A1C1 上运动时，BM 与 AC 所成角的取值范围为
C. 使得直线MA与平面 ABCD 所成的角为 60°的点M 的轨迹长度为
D. 若N 为棱 A1B1 的中点，当M 在底面 ABCD 内运动，且MN / / 平面B1CD1 时，MN 的最小值 6
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B 选项，根据 A1C1 / /AC 找到异面直线所成角为 BM 与 A1C1 所成的角，即可判断；C 选项，找到M 的轨迹为线段 AH, AT ，以及在平面 A1B1C1D1 内以 A1 为圆心、 HAHA 为半径的 圆弧，计算即可；D 选项，利用中点得线线平行，即可找到M 的轨迹，计算即可．
【详解】对于 A，因为底面正方形 ABCD 的面积不变，M 在平面 A1B1C1D1 内运动时，又M 到平面 ABCD的距离为正方体棱长，故四棱锥M- ABCD 的体积不变，故 A 正确；
对于 B，由于 A1C1 / /AC ，故 BM 与 AC 所成的角即为BM 与 A1C1 所成的角，
π
当M 在端点 A1 , C1 时， △A1BC1 为等边三角形，此时所成的角最小，最小为 ，
3
当M 在 A1C1 的中点时，所成的角最大，最大为 ，故BM与 AC 所成角的取值范围为 ，故 B 错误；
对于 C，由于 M 在正方体表面上，若直线MA与平面 ABCD 所成的角为 60°,则 MA ，故以 A为圆心，以MA 为半径作球，与棱 A1D1 , A1B1 相交于点H, T ，则M 的轨迹为线段 AH, AT ，以及在平面 A1B1C1D1 内以 A1 为圆心、 HAHA 为半径的 圆弧，如图①, 故M 的轨迹长度为 2HA + l ，故 C 正确；
分别取 A1D1 、DD1 、BC 、B1B 、 CD 的中点K 、F 、S 、E 、P ，
由正方体的性质可知K 、F 、S 、E 、P ，N 六点共面，且为正六边形PSENKF ，如图②,
由中位线定理，KN / /B1D1 ，B1D1 Ì 平面B1CD1 ，KN Ë 平面B1CD1 ，所以 KN / / 平面B1CD1 ，同理NE / / 平面B1CD1 ，且 KN ∩ NE = N ，KN, NE Ì 平面PSENKF ，
所以平面PSENKF / / 平面B1CD1 ，
M 在底面 ABCD 内运动，所以M 轨迹为线段PS ，
取 AB 中点N, ，连接 N,N, N,S ，则 N,N 丄 平面 ABCD ，故MN
故当N,M 最小时，MN 最小，由于SB = N,B = PC = CS, \N,S = PS = 2 , PN, = 2, 故N,S 丄 PS ，故当M 为S 时，N,M 的长最小，此时N,N = ·2 ，故MN 最小为 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，
即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数f (x)是定义在R 上的奇函数，当x > 0 时，f (x) = x2 - x -1，则当 x < 0 时，f (x) =
.
__________
【答案】 -x2 - x +1
【解析】
【分析】根据函数是奇函数得 f (-x)= -f (x)，解出即可.
【详解】当 x > 0 时，f (x) = x2 - x -1，
则当x < 0 时，函数f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (-x)= -f (x)，可得f x2 - x +1，
故答案为：-x2 - x +1 .
13. 已知函数f (x) = cs wx (w > 0)在区间[0, 2π ]有且仅有 3 个零点，则 w 的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】由f (x) = 0 ，求得x ，得出函数的零点，集合题意，得出不等式 ，即可求解.
【详解】由函数 f (x) = cs wx ，令 f (x) = 0 ，即 cs wx = 0 ，解得 wx ，可得 x k ∈ Z ，
因为k ∈ Z ，则对应的零点为
因为函数f (x) = cs wx (w > 0)在区间[0, 2π ]有且仅有 3 个零点，
则满足 ，解得 ，即实数 w 的取值范围为 .
故答案为：
14. 在三棱锥P - ABC 中，PA 丄 平面 ABC ， ÐBAC AP = 3 ， AB = 23 ，Q 是BC 上的一动
π
点，且直线PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 ，则 BC = ，三棱锥 P - ABC 的外接球的表面
3积为 ．
【答案】 ①. 6 ②. 57π
【解析】
【分析】（1）设直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ ,先求出 PQ 的最小值为23 ， AQ 的最小值是3 ，即点 A 到BC 的距离为 3 ，再利用余弦定理求出 BC 的值；
（2）取 VABC 的外接圆的圆心为 O, ，则圆 O, 的半径r = 23 ，连接 OO, ，作 OM 丄 PA 于点M ，即得R ，即得解.
【详解】设直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ ,三棱锥 P - ABC 外接球的球心为O ，半径为 R ，
如图所示，则0 < sin
所以PQ ≥ 23 ，则 PQ 的最小值为23 ， AQ 的最小值是3 ，即点 A到BC 的距离为 3 ，所以
因为 ÐBAC 所以 ÐCAQ
所以 AB = AC = 23 ，
所以BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cs 所以BC = 6 ．
取VABC 的外接圆的圆心为 O, ，则圆 O, 的半径r 连接 OO, ，作 OM 丄 PA 于点M ，
则点M 为PA 的中点，所以R2 = OA2 = OP 故三棱锥P - ABC 的外接球O 的表面积S = 4πR2 = 57π .
故答案为：6；57π .
【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 A = {x∣a < x < 2a - 3} ，B
（1）若 a = 4 ，求 A ∩ B ；
（2）若 A ∩ B = A ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） {x | 4 < x < 5}；
（2） {a|a ≤ 4} .
【解析】
【分析】（1）解出集合 B ，利用交集的定义求解；
（2）由 A ∩ B = A 得到 A Í B ，分 A = Æ 和 A ≠ Æ 两种情况讨论求解.
【小问 1 详解】
丫 a = 4 ，\ A = {x∣4 < x < 5} ，丫 B B = \ A ∩ B = {x | 4 < x < 5} ；
【小问 2 详解】
QA I B = A ，\ A Í B ，
当 A = Æ 时，a ≥ 2a - 3 ，解得 a ≤ 3 ，
当 A ≠ Æ 时，丫 A Í B ，
所以 ，则 3 < a ≤ 4 ，
综合以上两种情况，可得实数a 的取值范围为{a|a ≤ 4} .
16. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成绩.将成绩分为[30,50) ，[50,70) ，[70,90) ，[90,110) ，[110,130) ，[ \l "bkmark1" 130, \l "bkmark2" 150]，共 6 组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 a 的值，并估计本次考试的平均分和众数；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替）
（2）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过 6%，根据样本数据，试估计获得表
彰的同学的最低分数.
【答案】（1）a = 0.0125 ，平均分 98，众数为 100.
（2）最低分数为 138.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质先计算 a ，再计算平均数和众数即可求解；
（2）由题意得获得表彰的同学的最低分数位于[ \l "bkmark3" 130, \l "bkmark4" 150] 内，设为 x，得 (150 - x )× 0.005 ≤ 0.06 ，解出即可.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图性质得(0.0025 + 0.005 + 0.01+ 0.015 + a + 0.005)× 20 = 1，解得 a = 0.0125 ，本次考试的平均分x = 40 × 0.0025 × 20 + 60 × 0.005 × 20 + 80 × 0.01 × 20 +100 × 0.015 × 20 +120
×0.0125 × 20 +140 × 0.005 × 20 = 98 ，由频率分布直方图得：众数为 100；
【小问 2 详解】
[ \l "bkmark5" 130, \l "bkmark6" 150] 的频率为0.005× 20 = 0.1 > 0.06 ，所以获得表彰的同学的最低分数位于[ \l "bkmark5" 130, \l "bkmark6" 150] 内，且设为 x，则(150 - x )× 0.005 ≤ 0.06 ，解得x ≥ 138 ，即最低分数为 138.
17. 已知函数f = cs ，在 VABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c .
（1）求 f 的值，并求函数f (x) 的对称中心坐标；
（2）将 y = f (x) 的图象向右平移 个单位得到函数g(x)，若对任意 x ，都有 g(x)≤ g(A)恒成立，且 A 为VABC 的内角，求角A ；
（3）在（2）的条件下，a = 4 ，设点 H 在锐角VABC 所在平面内，且满足H——→ . H——→ = H——→ . H—— = H—— . H——→ ,求△HBC 面积的取值范围.
【答案】（1）1 ， k ∈ Z .
π
（2）
3
（3）
【解析】
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质，即可求解；
（2）根据条件求出 g(x)，利用余弦函数的性质，即可求解；
（3）根据条件得 H 为VABC 的垂心，结合条件得 ÐBHC ，利用余弦定理及不等式的性质得
16
HB . HC ≤ ,再由三角形的面积公式，即可求解.
3
【小问 1 详解】
由f = cs ，得 f æ|è EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(ö),ø)| = cs |EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(æ),è)2 × - EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(ö),ø)| = 1 ，
令2x kπ , k ∈ Z ，得 x k ∈ Z ，
则函数f (x) 的对称中心坐标为 k ∈ Z .
【小问 2 详解】
由题意g = f cs cs
当x 时，2x ，对任意 x ，都有 g(x) ≤ g(A) 恒成立，则g为g上的最大值，所以2A ，则 A .
【小问 3 详解】
即HB . CA = 0 ，HC . BA = 0，故 HB 丄 CA ，HC 丄 BA ，所以 H 为VABC 的垂心，
因为H——→ . H——→ = H——→ . H—— = H—— . H——→ ,所以 H——B—→ . (H——→ - H—— = 0 ，H—— . (H——→ - —→ ) = 0 ，→ → → → uuur uur ———→ ———→
连接BH 并延长交 AC 于点D ，连接 CH 并延长交 AB 于点E ，则 BD 丄 AC ， CE 丄 AB ，
在四边形 ADHE 中，由ÐA + ÐHDA + ÐHEA + ÐDHE = 2π ,且 A，得 ÐDHE ，则
在△HBC 中，由余弦定理，
得BC2 = HB2 + HC2 - 2HB . HC . cs ÐBHC ，
所以16 = HB2 + HC2 + HB . HC ≥ 3HB . HC ，得 HB . HC ≤ ,当且仅当 HB = HC 时，等号
成立，
1 3 43
所以S△HBC = 2 HB . HC . sin ÐBHC = 4 HB . HC ≤ 3 ，
又S△HBC > 0 ，故△HBC 面积的取值范围为 .
18. 如图，在四棱锥P- ABCD 中，PB = PD ，PC = 3 ，PA 丄 PC ，M，N 分别为 PA ，BC 的中点，底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形且 ÐDAB = 60° , AC 交 BD 于点 O.
（1）求证：MN// 平面 PCD；
（2）求证：平面 PAC 丄 平面 ABCD；
（3）求二面角 B - PC - D 的平面角的余弦值.
【答案】（1）取 PD 的中点 E，连接 ME，CE，如图.
∵M 为 PA 的中点，
∴ ME AD ，ME//AD ，
∵N 为 BC 的中点且四边形 ABCD 为菱形，
∴ NC//AD ，NC AD .
∴ NC//ME ，NC = ME ，
∴四边形MNCE 为平行四边形，
∴ MN//EC ，
又∵ MN Ë 平面 PCD ， CE Ì 平面 PCD， ∴ MN// 平面PCD .
（2）如图，连接 PO ，
∵ PB = PD ，O 是BD 的中点，
∴ PO 丄 BD ，
由菱形 ABCD 知 AC 丄 BD ，又 PO ∩ AC = O ，PO ， AC Ì平面PAC ， ∴ BD 丄 平面PAC ，
∵ BD Ì 平面 ABCD ，
∴平面PAC 丄 平面 ABCD .
1
（3）-
7
【解析】
【分析】（1）取 PD 的中点 E，连接 ME ，CE，先证明四边形MNCE 为平行四边形，得到MN / /EC ，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接 PO ，先证 BD 丄 平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）过点 B 作BF 丄 PC 于点 F，连接 DF，OF，先证明 ÐBFD 为二面角B - PC - D 的平面角，再在△BFD中利用余弦定理求解即可.
【小问 1 详解】
略
【小问 2 详解】
略
【小问 3 详解】
如图，过点 B 作BF 丄 PC 于点 F，连接 DF，OF.
∵ BD 丄 平面 PAC，PC Ì平面 PAC， ∴ BD 丄 PC .
∵ BF 丄 PC ，BD ，BF Ì 平面 BDF，BF ∩ BD = B . ∴ PC 丄 平面 BDF，
∴ PC 丄 DF ，PC 丄 OF .
∴ ÐBFD为二面角B - PC - D 的平面角.
∵ PC 丄 OF ，PA 丄 PC ，PC，PA ，OF 共面， ∴ OF//PA ，
∵O 是 AC 的中点， ∴F 是 PC 的中点，又∵ BF 丄 PC ，
∴ PB = BC = 2 ，FC PC
∵F 是 PC 的中点，又DF 丄 PC ，
1 ∴二面角B - PC - D 的平面角的余弦值为- .
7
19. 已知函数f = lg k ∈ R .
（1）若 f ，求实数 k 的值；
（2）在（1）问的条件下，解关于x 的不等式f f (x ) < 1；
（3）若 k > 4 ，对任意的b ，函数 g(x ) = f (x ) + lg2 x - x - b 在区间(0, 2) 内总存在x0 使得g (x0) = -g (2 - x0)成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）4 ；
（2）
（3） (4, 2 + 5 ) .
【解析】
【分析】（1）由 f = lg 计算f ，利用对数公式计算得解.
（2）解不等式 f = lg ，则此不等式 f f (x ) < 1转化为1< f (x) < 2 ，代入 f (x) 的表达式，解对数不等式得解
（3）由 g(x0) = -g (2 - x0)得到(k - 2x0)(k - 4 + 2x0) = 4 . 22b ，设 t = 4 . 22b ，由 b 的范围得到t 的值域A ，设h(x0) = (k - 2x0)(k - 4 + 2x0) = -4xEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(2),0) + 8x0 + (k2 - 4k) ，由 x0 ∈ (0, 2) 求出h(x0) 的值域B ，由
对任意的b ，函数 g(x) = f (x) + lg2 x - x - b 在区间(0, 2) 内总存在x0 使得g (x0) = -g (2 - x0)成立，得到 A Í B ，利用子集的定义列出 k 的不等式组，计算得解.
【小问 1 详解】
x è 2 ø è 2 ø 3
丫 f (x ) = lg2 k - 2x ，\f æ| 1 ö| = lg2 (2k - 2) ，f æ| 3 ö| = lg2 2k - 6 ，
丫 f lg2 +lg
\k2 - 4k = 0 ，\k = 4 或k = 0 ，
当k = 0 ，f (x) = lg2 (-2) 不满足真数大于0 ，即 k = 0 不成立，故k = 4 ；
【小问 2 详解】
丫k = 4 ，\f = lg
丫 f = lg 的解为1< x < 2
\f f (x ) < 1 转化为1< f (x) < 2 ，\1< lg2 < 2 ，
\2 < < 4 ，\ < x < 1 ，\f f (x ) < 1 的解集为 ；
【小问 3 详解】
丫 f = lg
\g (x0) = lg2 (k - 2x0) - x0 - b ，\g (2 - x0) = lg2 (k - 4 + 2x0) - 2 + x0 - b ，丫 g (x0) = -g (2 - x0) ，
\lg2 (k - 2x0) - x0 - b = -lg2 (k - 4 + 2x0) + 2 - x0 + b ， \(k - 2x0)(k - 4 + 2x0) = 4 . 22b ，设 t = 4 . 22b
丫b \1 ≤ t ≤ 2 ，\t = 4 . 22b 的值域为 A = [ \l "bkmark7" 1, \l "bkmark8" 2] ，
设h(x0) = (k - 2x0)(k - 4 + 2x0) = -4xEQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(2),0) + 8x0 + (k2 - 4k) ，
对称轴为x0 = 1 ，丫x0 ∈ (0, 2) ，\ h(x0)在x0 = 1 处取最大值为k2 - 4k + 4 ，
\h(0) = h(2) = k2 - 4k ，\ h(x0) 的值域为B = (k2 - 4k, k2 - 4k + 4] ，
丫对任意的b ，函数 g(x) = f (x) + lg2 x - x - b 在区间(0, 2) 内总存在x0 使得g (x0) = -g (2 - x0)成立，
\ A Í B ，
\[ \l "bkmark9" 1, \l "bkmark10" 2] Í (k2 - 4k, k2 - 4k + 4] ，
\实数k 的取值范围为 (4, 2 + 5 ) .