湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期6月月考试题 数学试卷（含答案）

这是一份湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期6月月考试题 数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.
【详解】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：，
所有的分组组数为：，
结合古典概型计算公式可得满足题意概率值为：.
故选：C.
2. 已知随机变量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.
【详解】由知，可知，故，故成立；
反之，若，则，故为充要条件，
故选：C.
3. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解即得.
【详解】依题意，
所以.
故选：C
4. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得.
【详解】根据分布列方差的性质得：，
依题意知，满足二项分布，
所以，，
所以，解得，或（舍去）.
故选：D.
5. 植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示：
根据表中数据可得及线性回归方程为，则（ ）
A.
B. 变量与的相关系数
C. 在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加
D. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据样本中心在方程上可求解A，进而可判断B，根据回归方程的含义即可求解CD.
【详解】由线性回归方程过样本中心点知，，故A错误；
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数，故B错误；
由线性回归方程可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正确；
若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误.
故选：C.
6. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
7. 小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，求出，，进而计算可得答案
【详解】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，
事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件A包含3中情况，
①走了4次1级台阶，其概率
②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率，即,
③走了2次2级台阶，其概率，
故小明爬到第4级台阶概率
在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率,
故选：D
8. 关于函数，下列选项正确的是（ ）
A. 函数没有零点B. 函数只有1个零点
C. 函数至少有1个零点D. 函数有2个零点
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断零点个数.
【详解】因为，
且，
所以当时，
故函数在定义域上单调递减，所以至多有一个零点，故C､D错误
令则
知时
且知时
时且
所以函数只有1个零点.
故选：
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. x，y负相关
B. 第8天的平均气温为18℃
C. 前7天平均气温的平均数为19℃
D. 若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知利用回归直线的性质依次判断各选项即可得出结果.
【详解】因为，所以A正确；
第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误；
由，及在经验回归直线上，得，C正确；
因为x，y负相关，所以相关系数，
剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但r变小，D错误．
故选:AC．
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用的展开式与赋值法可判断A，利用组合数的性质可判断B，利用阶乘的裂项法可判断C，构造求其含的项的系数可判断D.
【详解】对于A，因为，
令，得，则，故A错误；
对于B，因为，
所以
，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C正确.
对于D，，
对于，其含有的项的系数为，
对于，要得到含有的项的系数，
须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个，
它们对应的系数为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决关键是，利用组合的思想，从多项式中得到含有的项的系数，从而得解.
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数既有极大值又有极小值
B. 函数的极小值点为1
C. 若函数有二个零点，则或
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导，分类讨论可得函数既有极大值又有极小值，且极大值点为1，可判断AB；由函数有两个零点，可得则有两个不等的实根，可判断C；构知函数可得，计算可得，判断D.
【详解】由，
可得，
令，可得或，
当时，，
若时，，函数单调递增，
若时，，函数单调递减，
若时，，函数单调递增，
所以函数既有极大值又有极小值，为极大值，
当时，，
若时，，函数单调递减，
若时，，函数单调递增，
若时，，函数单调递减，
所以函数既有极大值又有极小值，为极大值，故A正确，B错误；
令，则可得，
若函数有二个零点，则有两个不等的实根，
则，解得，又，
所以或，故C正确；
令，则，所以在上单调递增，
所以，所以，所以，
若，，
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量的分布列为

若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
【分析】由随机变量分布列可知：的可能取值为0,1,4,9，分别求出相应的概率，由此利用，即可求解.
【详解】由随机变量的分布列可知：的可能取值为0,1,4,9，
且，，
，，
因为，
所以实数的取值范围是
故答案为.
13. 对于随机事件A，B，若，，，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用条件概率计算即可求解.
【详解】解：，且，
，
，
，
则
故答案为：
14. 已知是定义在R上的奇函数，，且对任意，均有，则________．
【答案】
【解析】
【分析】要利用数列的递推思想和累乘法来求出，然后再构造为二项式系数来求和，利用二项式系数的性质就可以求出结果.
【详解】令，则由题意知，
又因是定义在R上的奇函数，则，
所以，化简可得，
则，所以，
用累乘法得，
当时，，所以也满足上式，则，所以，
因为，所以上式可化为，
由于，
由二次项性质可得，
则.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：(1)关键是利用数列的递推思想和运用累乘法来求出通项公式；
(2)关键是把阶乘的乘法转化为二项式系数，再利用二项式系数的性质来求和.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列.
（1）求展开式中含有项的系数；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）；
（2）有理项：.
【解析】
【分析】（1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三者成等差数列可求出；然后写出展开式通项，令的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解；
（2）设展开式中第项为有理项，可知，求出的可能取值，代入通项即可得解.
【小问1详解】
展开式的通项为，
∵前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，
∴，即，可得（舍去）或.
二项式展开式的通项为.
令，得，故含有项的系数为；
【小问2详解】
设展开式中第项为有理项，则，则时对应的项为有理项，
有理项分别为.
16. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
17. 某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格.
（1）根据小概率值的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异.
（2）选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率分别为，，，，，.学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：①，②，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显.
附：.
【答案】（1）有 （2）方式②
【解析】
【分析】（1）根据公式求出卡方，结合表格即可判断；
（2）根据公式分别求出、，即可判断.
【小问1详解】
由已知得，
，依据小概率值的独立性检验，
可以判定男生和女生在选择课程的偏好上有差异；
【小问2详解】
，
根据①：.
根据②：.
，，，，
方式②对大偏差数据的体现更明显.
18. 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为.
（1）求乙同学第2局赢的概率；
（2）求；
（3）若存在，使成立，求整数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可；
（2）由题意得时，，化简变形后可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出；
（3）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案.
【小问1详解】
由题意甲第2局赢的概率为，
所以乙赢的概率为；
【小问2详解】
由已知时，，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以；
【小问3详解】
，即，令，则，
因为和在上递减，
所以在上递减，
因为，所以时，，则在上递减，
显然，因此要求的最小值，即求的最大值，
又，为奇数时，，
为偶数时，，且在为偶数时，是单调递减的，，
所以是中的最大值，
所以，又在上是减函数，
所以，而，故
所以，
所以满足的整数的最小值为.
19. 已知函数，．
（1）若恒成立，求a最小值；
（2）若是的极小值点，求n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）等价变形不等式，分离参数构造函数，求出函数的最大值即可.
（2）利用极小值点可得，再分类讨论导数值正负确定极小值即可求出范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，不等式，
则，令，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
于是，则，
所以a的最小值为.
【小问2详解】
依题意，，
求导得，由是的极小值点，得，
则，，
当时，由，得；由，得，是的极大值点，不符合题意；
当时，由，得；由，是或，是的极大值点，不符合题意；
当时，恒有成立，当且仅当时取等号，单调递减，无极值点，不符合题意；
对于时，由，得；由，是或，是的极小值点，符合题意，
所以n的取值范围是.
9.9
12.1
14.8
18.2
19.9
21.8
25.1
27.7
30.4
32.1
0.30
0.34
0.42
0.50
0.55
0.60
0.71
0.74
0.78
0.86
0
1
2
3
增
极大值
减
极小值
增
男生
女生
农作物种植课程
160
80
田间管理课程
40
120
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828