湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分150分考试用时120分钟）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.已知2i-3是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（ ）
A.4B.13C.12D.5
2.一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3.下列说法正确的是（ ）
A.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台
B.直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积
C.空间中，过三点有且只有一个平面
D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
4.已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若，，则的值是（ ）
A.20B.10C.5D.不能确定
5.复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A．B．C．4D．
7.在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）.
A.B.C.D.
8.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9.下列说法不正确的是（ ）
A.与共线的单位向量是
B.在中，是为等腰或直角三角形的充要条件
C.存在唯一使是的充分不必要条件
D.在上投影向量的模为
10.已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题不正确的是（ ）
A.若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.与垂直的单位向量的坐标是___________.
13.已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为___________.
14.如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是___________.
四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.如图，正方体中，，点分别是棱的中点.
（1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明；
（2）求多面体的表面积和体积.
16.在三角形ABC中，角，B，的对边分别为a，，c，已知，.
（1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围；
（2）若角的角平分线交于，满足，求的长.
17．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
（1）求的余弦值．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标；
（3）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
18.如图，在正三棱柱中，为的中点，.
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.如图正方体棱长为4，，分别是，上的点，且，.
（1）求直线与所成角的余弦值.
（2）设是线段上的动点（含端点）.
（i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求体积的最小值.
（ii）当平面时，求的值.
荆州中学2025级高一下学期数学五月月考
CBBA CADA
ABD ABC ABD
或
15.（1）几何体是三棱台，证明如下：
因为点E，F分别是棱，的中点，连接，所以，
且，因此四边形是梯形.
延长，相交于点G，因为，平面，
所以平面，又因为，平面，所以平面.
因为平面平面，所以，
所以直线，，相交于同一个点G.所以几何体是三棱锥，
由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台.
（2）因为，所以，，
在等腰梯形中，，，高，
所以.
又因为，，，
所以三棱台的表面积是.
因为三棱台的高，
所以棱台的体积.
16.（1）因为，
由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理得，所以，所以.
又因为，所以.
因为，由正弦定理得，
可得，，因为，
所以，
则，
又，则，，
，则周长的取值范围是，
（2）因为，由角平分线性质定理得，即，
在三角形中，，由余弦定理得，，；
因为，所以，得，
所以
17．（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．
则，，，，∴，．
由于就是，的夹角．∴，
∴的余弦值为．
（2）设，∴，∵，∴，∴①．
∵，，，∴，②．
联立①②得，∴，∴．
（3）由题得，．
①当点P在上时，设（），∴，
∴，∴，∴，∴．
②当P在上时，设，（），∴，∴，∴舍．
综上，存在，．
18.（1）在等边中，因为D为的中点，可得.
在正三棱柱中，可得平面，
又平面，所以.
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）由（1）得平面，因平面，则.
又，，则，，
，，所以，可得，
因，，平面，故平面.
（3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角.
又，，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.（1）过点E作交于M，连接，
由正方体的对角面是矩形，得，则，
即为直线与所成的角或其补角，
由，，得，，，，
因此，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）三棱锥的体积不是定值.
假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等，
又平面，于是平面，由（1）知，且平面，则平面，而，，平面，则平面平面，又平面，因此平面，取中点，连接，
显然M为的中点，则，又与平面交于点，
于是与平面相交，两者矛盾，假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值，由图，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，F到平面的距离最小，则当G与F重合时，三棱锥的体积最小，
且，所以三棱锥体积的最小值为
（ii）由，且平面，则平面，同理平面，
而，，平面，因此平面平面，
此时线段平面，满足平面，
设E，F到平面的距离分别为，，则.
是边长为的等边三角形，则，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以.