2025~2026学年广东省广州十七中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年广东省广州十七中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间为120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由函数的导数求解即可.
【详解】由已知，又，
所以，解得.
2. 函数的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】函数的定义域为，
求导得，
令，得，解得，
所以函数的单调减区间为.
3. 已知函数的极小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】函数的定义域为，
，
令，得，解得.
因为为增函数，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，极小值为.
4. 的展开式中的系数为15，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【正确答案】B
【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得.
【详解】由题，可得展开式的通项为，
，则，解得.
故选：B.
5. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ）
A. 5B. 12C. 20D. 120
【正确答案】B
【分析】先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案.
【详解】从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种，
共有种.
故选：B.
6. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ）
A. 16B. 17C. 15D. 14
【正确答案】A
【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值.
【详解】设数列公差为，由题设可得.
即，结合,可得
7. 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 有四个极值点B.
C. 有一个极小值点D.
【正确答案】C
【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D.
【详解】由导函数的图像可得：
的变号零点共3个：，，；
处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点.
其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点.
因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确；
选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性，
因此在上单调递增.
因为，所以，故B错误；
选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值；
在单调递减：由，可知，故D错误.
8. 函数在区间上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值.
【详解】已知函数，
所以.
因为，所以，故.
当时，，即；
当时，，即，
所以在上为单调递增，在为单调递减，
故在上的最大值为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. (多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ）
A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法
【正确答案】BD
【分析】
【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
10. 已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（ ）
A. B.
C. D. 数列是等差数列
【正确答案】AC
【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可.
【详解】对于A：由，
由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确；
对于B：由上可知：，所以本选项不正确；
对于C：，所以本选项正确；
对于D：因为常数 ，
所以数列不是等差数列，因此本选项不正确，
故选：AC
11. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 当时，
C. 函数有三个零点D. 点为函数的对称中心
【正确答案】AD
【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心.
【详解】对于A：因为，
由，得或，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确；
对于B：因为当时，单调递增，
而当时，，所以，故B错误；
对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误；
对于D：因为，即，
所以点为函数的对称中心，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线方程为__________.
【正确答案】
【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】因为，则，所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为.
13. 已知数列满足，则等于__________．
【正确答案】##
【分析】由递推公式直接计算．
【详解】由已知，．
故．
14. 在的展开式中，含有项的系数是________．
【正确答案】
【分析】根据组合数的计算性质，即可求解.
【详解】由的展开式中，
可得项的系数
.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）求在区间的最值．
【正确答案】（1）
，
（2）
最大值为，最小值为
【分析】（1）利用导数判断函数单调性，然后可求极值；
（2）比较函数极值与区间端点处函数值的大小关系，据此可得函数最值.
【小问1详解】
，，.
从而在上单调递减，在上单调递增.
从而，；
【小问2详解】
由（1）可得在上单调递减，在上单调递增.
则，
16. 记为等比数列的前项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：，，成等差数列
【正确答案】（1）
an=3⋅(−2)n−1
（2）证明：根据（1）可得，.
则，，.
因此，，即，
因此成等差数列.
【分析】（1）设等比数列的公比为，列方程求出公比，再由等比数列的通项公式计算即得.
（2）根据等比数列前项和求出，再根据等差数列的定义证明即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，首项为.
由题意得，且前两项和.
则，即，解得，所以.
因此的通项公式为an=3⋅(−2)n−1.
【小问2详解】
略
17. 给定函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值点；
（2）求出方程的解的个数．
【正确答案】（1）在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点.
（2）当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可.
（2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得 .
令，解得；
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点.
综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点.
【小问2详解】
方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数.
由（1）知，.
当时，；当时，.
函数的简图如下：
结合图象可知，当时，的图像与直线无交点；
当或时，的图像与直线有1个交点；
当时，的图像与直线有2个交点；
综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
18. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）99
【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可.
（2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可.
【小问1详解】
由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可得，所以，
设数列的前项和为，
则 ，
若，即，因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为．
19. 已知函数．
（1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【正确答案】（1）在上是减函数；在上是增函数
（2）当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
【小问1详解】
依题意，，由是的极值点，得，解得，
则，
当时，，则；当时，，则，
所以是的极值点，，且在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
略