2025--2026学年广东惠州光正实验学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 41B. 61C. 62D. 82
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A. 0.6B. 0.3C. 0.2D. 0.4
4. 有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（ ）种
A. 36B. 48C. 72D. 144
5. 已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中 的系数( )
A. 5B. 40C. 20D. 10
6. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
A. B. C. D.
8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列求导数运算不正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则独立
C. 若独立，则D.
11. 若，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为
C. 奇数项的系数和为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________．
13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____.
14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64.
（1）求展开式中第4项的二项式系数；
（2）求展开式中的常数项；
（3）展开式中的系数.
16. 已知函数为.
（1）求；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最值.
17. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列．
18. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
19. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论在R上的单调性；
（3）若对任意的恒成立，求a的取值范围.
数学
试卷满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值是（ ）
A. 41B. 61C. 62D. 82
答案：B
解析：
思路：利用排列数和组合数公式计算即可．
解答过程：，
，,
因此.
故选：B.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：D
解析：
思路：对函数求导即可得到结果.
解答过程：因为，所以，
所以.
故选：D.
3. 已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A. 0.6B. 0.3C. 0.2D. 0.4
答案：D
解析：
思路：根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解.
解答过程：当时，由，
所以.
故选：D
4. 有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（ ）种
A. 36B. 48C. 72D. 144
答案：C
解析：
思路：利用间接法，先将5辆车任意排放，再排除甲车与乙车相邻停放，结合排列数运算求解.
解答过程：先将5辆车任意排放，停放方法共有种，
若甲车与乙车相邻停放，则停放方法共有种，
所以甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有种.
故选：C.
5. 已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中 的系数( )
A. 5B. 40C. 20D. 10
答案：D
解析：
解答过程：试题分析：先对二项式中的x赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，求出r，将r的值代入通项求出二项展开式中x4的系数．在中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n，∴2n=32，∴n=5，得到∴二项展开式中x4的系数，故选D.
考点：二项展开式的系数
点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．
6. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可.
解答过程：求导函数得到，则切线斜率为 ，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
故选：D
7. 袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分别求解出“第一次摸到蓝球”的概率；“第一次摸到蓝球且第二次摸到红球”的概率；根据条件概率公式可求得结果.
解答过程：记“第一次摸到蓝球”为事件；“第二次摸到红球”为事件
则，
所求概率为：
本题正确选项：
方法提示：本题考查条件概率的求解问题，属于基础题.
8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由题设不等式和选项的结构，考虑构造函数，求导得其单调性，利用其单调性对自变量进行赋值，即可一一判断选项正误.
解答过程：设，则，
因，故得，即在上为减函数.
对于A项，因，则，即，即，故A错误；
对于B项，因，则，即，即得，故B错误；
对于C项，因，则，即，即得，故C错误；
对于D项，因，则，即，即得，故D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列求导数运算不正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：根据基本初等函数的求导公式及复合函数的求导公式判断.
解答过程：因为，，，，
所以AD错误，BC正确.
10. 已知分别为随机事件的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则独立
C. 若独立，则D.
答案：ABD
解析：
思路：根据概率的性质即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据条件概率的性质即可判断D.
解答过程：A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确；
B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确；
C选项，若独立，则，C选项错误；
D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
表示在事件发生的情况下事件发生的概率，
所以，所以D选项正确．
故选：ABD．
11. 若，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为
C. 奇数项的系数和为D.
答案：ABD
解析：
思路：通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误.
解答过程：对于A：因为，因此，故A正确；
对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确；
对于C：令，可得；
再令，可得，
将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误；
对于D：令，则，
再令，可得，
所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________．
答案：
解析：
思路：
本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果.
解答过程：因为，所以，
因为函数无极值点，
所以，解得，实数的取值范围是，
故答案为.
13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____.
答案：##0.25
解析：
思路：运用概率加法公式和条件概率公式进行计算即可.
解答过程：因为，所以
因为，
所以
又因为
所以
所以
14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
答案：
解析：
解答过程：分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.
详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有 种；
若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；
若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64.
（1）求展开式中第4项的二项式系数；
（2）求展开式中的常数项；
（3）展开式中的系数.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）由题意得，，解得
所以展开式中第四项二项式系数为
（2）展开式的通项公式为
令，解得
所以常数项为
（3）所以的系数由两部分组成
第一部分是中，与展开式中的的乘积的系数
此时
第二部分是，展开式中的的系数
，此时
所以的系数为
16. 已知函数为.
（1）求；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最值.
答案：（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）最小值为，最大值为.
解析：
思路：（1）根据求导公式及求导法则计算；
（2）利用导数建立不等式求单调区间即可；
（3）根据单调性求函数的最值即可.
（1）因为，
所以.
（2）令，即，
解得或，
所以函数的递增区间为；
令，即，解得，
所以的递减区间为.
（3）由（2）知，在上单调递增，在上递减，
当时，为极大值，当时，为极小值，
又，
所以.
17. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列．
答案：（1）
（2）分布列见解析
解析：
思路：（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解；
（2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列.
（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
则取出的2个球没有白球，得，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为．
（2）依题意，随机变量的取值为1，2，3，
， ， ，
所以的分布列为：
18. 某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
答案：（1）540种；
（2）65种.
解析：
思路：（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；
（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
19. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论在R上的单调性；
（3）若对任意的恒成立，求a的取值范围.
答案：（1）. （2）答案见解析；
（3）解析：
思路：（1）根据导数的几何意义直接求出切线方程即可；
（2）对参数的取值分类讨论，即可得出在R上的单调性；
（3）将不等式等价转化为对任意的恒成立，求导得出当时在上恒成立，由恒成立可知满足题意，再对进行单调性分析得出矛盾即可求得结果.
（1）当时，函数，求导可得，
则有,
则在处的切线方程为，即.
（2）易知，
当时，，故恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得,
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可知时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）不等式即为，
即对任意的恒成立，
设，易知，
令，
则，因为，所以,
因此，因此在上单调递增；
又，
当时，即时，，即在上恒成立，
因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意；
当时，，由可得；
此时，
易知当时，，
即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾，
综上可得的取值范围为.
1
2
3