广东省惠州市惠州光正实验学校2024~2025学年高二下学期数学期末模拟试卷二[附解析]

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合A={−4,0,1,2,8}，B={x|x3=x}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2,8}C. {3,8}D. {0,1}
【答案】D
【解析】解：由x3=x，得x3−x=0，即x(x2−1)=0，解得x=0或x=1或x=−1，
则B={−1,0,1}，又A={−4,0,1,2,8}，则A∩B={−4,0,1,2,8}⋂{−1,0,1}={0,1}，
2.若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
【答案】B
【解析】解：由题意得iz=i−1，z=i−1i=(i−1)×ii×i=−1−i−1=1+i，所以z的虚部为1．
3.在等比数列{an}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7=( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
【答案】C
解：设等比数列{an}的公比为q，则q2=a4+a5a2+a3=2，∴a6+a7=(a4+a5)q2=2×2=4，
4.在2x2−1x5的展开式中，x的系数为( )
A. −40B. −32C. 32D. 40
【答案】A 【解析】解：通项公式 Tk+1=C5k2x25−k−1xk=C5k⋅25−k⋅−1kx10−3k ，
令 10−3k=1 ，得 k=3 ，所以x的系数为 C53⋅25−3⋅−13=−40 ，
5.已知经过点A(1,2,3)的平面α的法向量为n=(1,−1,1)，则点P(−2,3,1)到平面α的距离为( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
【答案】D
解：∵点A(1,2,3)在α内，P(−2,3,1)，∴ AP=(−3,1,−2)．又∵平面 α的法向量为 n=(1,−1,1)，
∴点P(−2,3,1)到平面α的距离d= |AP⋅n||n|= −3×1+−1×1+−2×1 12+−12+12=6 3=2 3．
6.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m=(a,b+c)，n=( 3sinC+csC,−1)，若m⊥n，则A=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
【答案】B
【解析】解：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a,b+c)，n=( 3sinC+csC,−1)，若m⊥n，则m⋅n=a( 3sinC+csC)−(b+c)=0，由正弦定理得 3sinAsinC+sinAcsC−sinB−sinC=0．即 3sinAsinC+sinAcsC−sin(A+C)−sinC=0．即 3sinAsinC+sinAcsC−sinAcsC−csAsinC−sinC=0．∴ 3sinAsinC−csAsinC−sinC=0，∵sinC≠0．
∴ 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，∵A∈(0,π)，∴A−π6∈(−π6,5π6)，∴A−π6=π6，∴A=π3．
7.已知函数fx=x3−3x2+2，若fx在2a,a+3上存在最小值，则a的取值范围是( )
A. −12,1B. −1,+12C. −1,2D. −1,1
【答案】A
解：依题意求导得f′x=3x2−6x=3xx−2，可得x=0和x=2为函数的极值，
函数fx的增区间为−∞,0，2,+∞，减区间为0,2，
由f0=2，f2=−2，又由x3−3x2+2=−2，
因式分解为x+1x−22=0，解得x=−1或x=2(或观察出f−1=−2)，
若函数fx在2a,a+3上存在最小值，有2a0) ，令 ωx+π4=kπ+π2 ， k∈Z ，则 x=1+4kπ4ω ， k∈Z ，
函数 fx 在区间[0， π ]上有且仅有2条对称轴，即 0≤1+4kπ4ω≤π 有2个整数k符合，
0≤1+4kπ4ω≤π ，得 0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω ，则 k=0,1 ，
即 1+4×1≤4ω