2025--2026学年广东惠州市惠阳区第五中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东惠州市惠阳区第五中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，文件包含第19章二次根式基础自测卷原卷版初中数学人教版2024八年级下册docx、第19章二次根式基础自测卷解析版初中数学人教版2024八年级下册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 下列导数运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
2. 等比数列中，与的等差中项为80，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 8
3. 今天是星期五，天以后是星期（ ）
A. 一B. 日C. 五D. 六
4. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 12B. 24C. 36D. 72
5. 若数列满足，，则（ ）
A. 466B. 1024C. 2044D. 4048
6. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A. 20B. 24C. 48D. 72
7. 假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有64种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
10. 已知数列的前项和为，且an+1=a1+a2+…+ann∈N*，则（ ）
A. B. C. D.
11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ）
A. 甲队积分为9分的概率为
B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 丙队积分为3分的概率为
D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分．
12. 已知两个随机事件，若，，则_______.
13. 的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________.
14. 已知函数fx=lnx+1x+ax，x∈0，+∞，若，则的最小值为___________，若在上为单调函数，则的取值范围为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
16. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．
（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，
①求取出的2个球中至少有一个红球的概率；
②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率；
（2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．
17. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都不入选；
（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；
（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.
18. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19. 设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有．
（1）判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有
（2）若在上单调递增，且数列满足．
（i）证明：数列单调递减；
（ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有．
数学
满分150分，时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 下列导数运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：
解答过程：选项A，因为是常数，所以，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，故D错误，
2. 等比数列中，与的等差中项为80，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 8
答案：D
解析：
解答过程：与的等差中项为80，则有，又，解得，
等比数列中，，所以.
3. 今天是星期五，天以后是星期（ ）
A. 一B. 日C. 五D. 六
答案：D
解析：
思路：利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果.
解答过程：因为
故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六.
故选：D.
4. 某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 12B. 24C. 36D. 72
答案：C
解析：
解答过程：从4名党员中选出2人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法数为组合数.
将分好的3组全排列，对应3个不同的社区，排列方法数为.
根据分步乘法计数原理，总安排方法数为种.
5. 若数列满足，，则（ ）
A. 466B. 1024C. 2044D. 4048
答案：C
解析：
解答过程：由题设，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列，则，
所以，则.
6. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A. 20B. 24C. 48D. 72
答案：D
解析：
解答过程：
如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确.
7. 假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.
解答过程：对A：由，故，故A正确；
对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误；
对C：，，
成立的条件为，故C错误；
对D：，若，则，
成立的条件为，为相互独立事件，故D错误.
8. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解.
解答过程：由函数，可得，其中，
令，可得，
所以在上为单调递减函数，
要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值，
则存在，使得在上单调递增，在上单调递减，
即有零点，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有64种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
答案：ACD
解析：
思路：A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案.
解答过程：A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；
B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，
再将三名专家分到两所医院，有种选择，
则不同的安排方法有种，B错误；
C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，
再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，
则不同的安排方法有种，C正确；
D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，
故不同的安排方法有种，D正确.
故选：ACD
10. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：利用先求，进而求解.
解答过程：由题意得：，即，
当时，，故A正确；
，故C正确；
当时，由得：，
所以，即，
所以，所以，即，
当时，，所以，故B错误；
由，所以，故D正确.
11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ）
A. 甲队积分为9分的概率为
B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 丙队积分为3分的概率为
D. 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为
答案：ABD
解析：
思路：甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解.
解答过程：甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为，
选项A正确；
四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
即甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
四支球队的积分总和为15分，
选项B正确；
丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0，
胜1平0负2的概率为，
胜0平3负0的概率为，
丙队积分为3分的概率为，
选项C错误；
若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜，
概率为，
若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜，
概率为，
若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜，
概率为，
甲队胜2场且乙队胜2场的概率为
选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分．
12. 已知两个随机事件，若，，则_______.
答案：
解析：
思路：根据条件概率公式求解即可.
解答过程：，
.
故答案为.
13. 的展开式中含的项的系数是80，则实数的值为________.
答案：1
解析：
思路：根据二项展开式通项，结合的系数求解即可.
解答过程：展开式的通项公式，
令，得，依题意有，解得.
故1
14. 已知函数，若，则的最小值为___________，若在上为单调函数，则的取值范围为___________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值；
（2）根据题意，分函数为增函数和减函数两类情况讨论求解.
解答过程：当时，，所以，令，解得，
由有：，由有：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以fxmin=f1=ln1+11=1 ；
由在上为单调函数，所以f′x=1x−1x2+a≥0 在恒成立，或在恒成立，
当在恒成立时，即，令，所以a≥gx恒成立，
又gx=1x2−1x=1x−122−14，又，所以，
所以，所以，
当在恒成立，即，即，又，所以所以，所以，
综上a∈−∞,−14∪0,+∞.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
答案：（1）
（2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.
解析：
思路：（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程；
（2）利用列表法求出单调区间和极值.
（1）函数的定义域为R.
导函数.
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）令，解得：或.列表得：
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为.
16. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．
（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，
①求取出的2个球中至少有一个红球的概率；
②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率；
（2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．
答案：（1）①；②
（2）解析：
思路：（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率；
（2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率.
（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球，
由题可知，，
所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为；
②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球，
所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为.
（2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则.
设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，
则，.
所以.
17. 生命在于运动。某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会。某校决定从6名运动员(含甲、乙运动员)中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙两人都不入选；
（2）甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；
（3）甲不跑第一棒乙不跑第四棒.
答案：（1）24；（2）24；（3）252.
解析：
思路：（1）甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列即可
（2）分2步进行分析：第一步，分析甲、乙两人必须入选且跑中间两棒的安排方法，第二步，在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，由分步计数原理计算即可，
（3）分两类：一类是甲跑第四棒，另一类若甲不跑第四棒，依据排列组合公式计算第一种情况的排列数目，由分类计数原理计算可得答案
解答过程：解：(1) 甲、乙两人都不入选，则剩下的4人参加，对这4个排列进行全排列，则共有
（2）根据题意，分两步进行：
首选，甲、乙两人必须入选且跑中间两棒，则甲、乙两人的排法有种，
其次，在剩下的4人选2人，跑第一棒和第四棒，有种，
所以分步计算原理可得甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒共有种
（3）根据题意分两种情况：
一种是若甲跑第四棒，此时只需在剩下的5人中任选3人，安排在第一、二、三棒即可，有种安排方法，
另一种是若甲不跑第四棒，此时第四棒由除甲、乙外的另外4人中选1人跑，有种，第一棒从除甲之外的4人中选1人跑，有有种，在剩下的4人中任选2人，安排在第二、三棒，有，则共有，
所以分类计数原理可得甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有种
18. 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）利用作差求出，再列方程组求出，最后利用等比数列的通项公式即可；
（2）利用裂项相消和等比数列的求和公式求出.
（1）因为，所以当时，，
又时，满足上式，故，
因为是，的等差中项，所以，
因为，所以，，
又，，解得，，得，
故.
故数列和的通项公式分别为，.
（2）∵
∴
.
19. 设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有．
（1）判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有
（2）若在上单调递增，且数列满足．
（i）证明：数列单调递减；
（ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有．
答案：（1）函数在上单调递增，证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）先对求导，然后根据已知条件判断函数在上单调递增，然后证明，进而证明出结论.
（2）（i）根据函数在上单调递增证明，进而证明结论；
（ii）根据已知条件先证明，进而证明出结论.
（1）由题有．
因为对于任意，都有，
即，且，所以，故函数在上单调递增，
下面证明：．
因为，所以，由的单调递增性质可知，
即．因为且，整理得：．
同理，因为，所以，由的单调递增性质可知，
即，整理得．
将两式相加得，
因为，两边同时除以，
得，得证．
（2）（i）由题意，则．
要证明数列单调递减，即证明单调递增，
因为在上单调递增，且，所以．
由（1）知，在上单调递增，且，所以．
因为，且定义域为，且单调递增，
故当时，从而，
所以，即．故数列单调递减．
（ii）记．
由（1）可知有，
同理，
依此类推，可得：，
将代入右侧可得，即．
由题意，令，则满足，所以．
因为在上单调递增，所以，
即，得证．x
1
3
+
2
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增