2025--2026学年广东广州市第六十五中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东广州市第六十五中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
5. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
7. 如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D. 异面直线MN与所成的角为45°
8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第一象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，，则面积的最大值为
11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________．
13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.
14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）分别求与的值；
（2）若，求的值.
16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角B；
（2）若，，求边c和的面积.
17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积.
18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
（3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
19. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
数学
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以复数的共轭复数为.
2. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：
求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
解答过程：为的中点，则，
，，
.
故选：B.
方法提示：本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
答案：B
解析：
解答过程：A：因为，，所以，没有交点，因此，可以是平行直线也可以是异面直线，所以本选项说法不正确；
B：因为，所以存在一个过直线的平面与平交，
设，所以有，因为，，
所以，所以，因此本选项说法正确；
C：当，时，还存在的情况，所以本选项说法不正确；
D：当时，若，也可以存在， 所以本选项说法不正确；
4. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：A
解析：
思路：先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解．
解答过程：在中，，，，
则，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以米.
故选：A
5. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
解答过程：因为，
所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：C．
6. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
答案：D
解析：
思路：由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解.
解答过程：因为，则，
因为，则，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
7. 如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D. 异面直线MN与所成的角为45°
答案：C
解析：
思路：取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.
解答过程：在正方体中，取棱中点，连接，
因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.
故选：C
8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
答案：B
解析：
思路：根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案.
解答过程：设外接圆半径为，
由正弦定理得，所以，
由圆的性质得，
，
所以当，即，即时，
取得最大值，最大值为.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第一象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
答案：AC
解析：
解答过程.
A：因为，所以A选项正确；
B：因为，所以在复平面上对应的点在第四象限，因此B选项不正确；
C：因为，所以是纯虚数，因此C选项正确；
D：因为的虚部为，所以D选项不正确.
10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，，则面积的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定.
解答过程：A选项，在中，由得，即，所以；
B选项，由正弦定理得即，解得，
又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误；
C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形且，
又因为，且，
所以，所以是等边三角形，C正确；
D选项，因为，，所以由余弦定理得，
当且仅当时取等号，即，
所以，D正确.
11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为
答案：ABD
解析：
思路：先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求.
解答过程：在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，A正确；
对于B，，
当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，
对于C，是等腰三角形，，又因为，则，
依题意，，而，因此，C错误；
对于D，结合B选项的解析可知，
当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值，
此时三棱锥的表面积为：，
设三棱锥的内切球半径为，
由等体积法可得，故D对.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________．
答案：9
解析：
思路：根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可.
解答过程：根据斜二测画法，还原成平面图形.
得到，，，，
可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积．
故9
13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.
答案：
解析：
思路：先根据与的夹角为锐角得出，且，不同向共线，根据平面向量数量积的坐标表示及向量共线列出不等式求解即可.
解答过程：因为向量，的夹角为锐角，
所以，且，不同向共线.
因为当时，，同向共线，
所以，解得且，
所以实数λ的取值范围是 .
故 .
14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________．
答案： ①. ## ②.
解析：
思路：①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离.
解答过程：①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为，
所以圆台的体积为.
②在梯形中，，即母线长为3，
如图，由圆台性质，延长，，交于点，
由与相似，得，即，解得，
设该圆台的侧面展开图的圆心角为，
则，所以，
在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段，
又在中，，，，
由余弦定理得，
所以.
验证知，由，，，得，
此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意.
故，.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，满足，，且与的夹角为.
（1）分别求与的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）1，
（2）解析：
思路：（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.
（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值.
（1）.
.
（2）因为，
所以，解得.
16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角B；
（2）若，，求边c和的面积.
答案：（1）
（2），面积
解析：
思路：（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解.
（1）已知，由余弦定理得：，
所以，
化简可得.
又，故
（2），
由正弦定理，代入，，：
所以.
因为，
所以.
17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证.
（2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证.
（3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解.
（1）如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
（3）由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点；
（3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）存在，，理由见解析
解析：
思路：（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案；
（2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论；
（3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论.
（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形，
因为，所以侧面积为，
所以正四棱锥的表面积为.
（2）连接,交于，则为中点，连接；
因为直线平面，且平面平面，
所以，
因为为中点，所以P为棱SD的中点.
（3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足.
理由如下:取SD的中点Q，连接BQ，
因为，所以，又为的中点，
在△中, ,又平面，平面，所以平面，
过Q作，交于，连接，
又平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，又平面,
所以平面，由，得,
由，Q为SD的中点，得，
所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC.
19. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到；
（2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值；
（3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围.
（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为， 所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即.
（3）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，所以，
所以.