2025--2026学年山东济南第一中学高二下册期中学情检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东济南第一中学高二下册期中学情检测数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A. 0.84B. 0.7C. 0.4D. 0.3
4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A. 27种B. 36种C. 54种D. 72种
6. 展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 220D. 380
7. 某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数和为512B. 不存在常数项
C. 含项的系数为45D. 第6项的系数最大
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 为对立事件
B.
C.
D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D. 若方程有两个实根，则
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______.
13. 有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.
14. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求的值.
16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当时，．
17. 某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球.
（1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率；
（2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望.
18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为.
（1）求；
（2）求在的情况下，乙获胜的概率；
（3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.
（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；
（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据函数直接求解即可.
解答过程.
故选：D.
2. 已知，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，且等号仅在 时成立，
所以在上严格单调递增，
由可得，解得或，
所以不等式的解集为.
3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A. 0.84B. 0.7C. 0.4D. 0.3
答案：A
解析：
思路：由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.
解答过程：因为随机变量服从两点分布，
所以由题，又，
所以.
故选：A.
4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项.
解答过程：因为函数在处取得极小值，
在左侧附近，，此时，，
在右侧附近，即存在，使得当，使得，
此时，，C选项合乎题意.
故选：C.
5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A. 27种B. 36种C. 54种D. 72种
答案：C
解析：
思路：甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．
解答过程：解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；
再排甲，也有3种情况；
余下3人有种排法．故共有种不同的情况．
故选：C.
6. 展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 220D. 380
答案：A
解析：
解答过程：的展开式的通项公式为Tk+1=C6k⋅2x6−k⋅(−1)k=C6k⋅26−k⋅x6−k⋅(−1)k，
所以x+22x−16展开式含项的系数为C64⋅22⋅(−1)4+2C63⋅23⋅(−1)3=−260 .
7. 某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出和，利用条件概率公式即可求解.
解答过程：将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为，
再安排给3人，总方法数为，
其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以，
而事件与都发生的所有可能结果有，即，
所以所求概率为．
故选：C．
8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解．
解答过程：解：函数，开口向下，对称轴为，
时，，
，，
令，解得，
则时，，单调递减，
时，，单调递增，
，又，
则时，，
对，，使成立，
，
，解得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数和为512B. 不存在常数项
C. 含项的系数为45D. 第6项的系数最大
答案：BC
解析：
思路：求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A；令的指数等于即可判断B；令的指数等于即可判断C；根据系数性质即可判断D.
解答过程：的展开式通项为，，1，…，10，
的二项式系数和为，故A不正确；
令，解得，故展开式不存在常数，B正确；
令，解得，故含项的系数为，C正确；
当时，的展开式的第6项的系数为，
当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式
第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D不正确；
故选：BC.
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 为对立事件
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD.
解答过程：对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，
所以为对立事件，故A正确；
对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确；
对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时，
所以，故C不正确；
对于D，，故D正确，
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D. 若方程有两个实根，则
答案：BD
解析：
思路：求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
解答过程：定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______.
答案：4或7
解析：
思路：根据组合数的性质，列式计算可得答案.
解答过程：由可得或，
解得或，
故4或7
13. 有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.
答案：150
解析：
思路：由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.
解答过程：解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．
故答案为150．
方法提示：本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．
14. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____
答案：
解析：
思路：构造函数，求导得到其单调性，判断奇偶性，可得，进而可解．
解答过程：因为，
所以，
即，
设，
，
当时，恒有，
故时，，单调递减，，
则是偶函数，
则，
解得，即．
故．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求的值.
答案：（1）；（2）0.
解析：
思路：（1）根据二项式系数的最大项求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得的项；
（2）利用赋值法，即可容易求得结果.
解答过程：（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以
，，
所以当时，.
（2）令，得，
又，
所以
方法提示：本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题.
16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当时，．
答案：（1）在上单调递减，在上单调递增；，无极大值；（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）由题意可得，从而可求出的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，
（2）由，令，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可
解答过程：（1）解：定义域：，
∵，∴，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
，无极大值．
（2）证明：由（1）知，
令，
则，
，，，
∴，即在上单调递减，
，
∴当时，．
17. 某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球.
（1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率；
（2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解
（1）从9个球中摸出3个球，共有种，
其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况，
所以一共有种可能，
所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为.
（2）由题意可得，
且PX=0=C63C93=2084=521，PX=1=C62⋅C31C93=4584=1528，
PX=2=C61⋅C32C93=1884=314，，
所以的分布列如下：
.
18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为.
（1）求；
（2）求在的情况下，乙获胜的概率；
（3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）借助概率乘法公式计算即可得；
（2）分析题意，分别计算出时的概率及时甲晋级的概率，再借助条件概率公式计算即可得；
（3）可能为3、4、5、6，分类讨论，列出符合要求的所有情况并计算其概率后求和即可得.
（1）由题意可知：
∴
（2）当时，甲，乙两人共投篮3次
由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进
设“时，比赛结束”，“乙获胜”
；
（3）若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6
设“甲获胜”，“时比赛结束”
当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进，
∴
当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进，
则
当时，若甲胜，两人的投篮情况可能为：
甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进；
甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进；
∴
当时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为：
乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进；
乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进；
乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进；
∴
∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.
（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；
（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.
答案：（1）答案见解析
（2）（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ）
解析：
思路：（1）求导后根据参数的范围分类讨论可得；
（2）（i）由互补函数的定义结合代入可得；
（ii）由互补函数的定义构成方程组解出的表达式，再构造函数求导，二次构造和求导分析单调性和最值可得.
（1）∵，∴，
①当时，，∴在上单调递减，
②当时令得，令得，
③当时令得，令得.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）∵与为“互补函数”，
∴存在，使，
（ⅰ）若，则即，
∴，.
（ⅱ）设，则，
即即，
∴①+②得③，
①-②得④，
得，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
设，，则，
设，则，
设，则在上恒成立，
∴在上单调递增，∴
∴在上恒大于0，∴在上单调递增
∴，∴在上恒成立
∴在上单调递增，
∴，
∴的最小值为.0
1
2
3
0
1
2
3