2025--2026学年山东邹城市高一下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东邹城市高一下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 的值为， 已知下列说法正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知a=3,1,b=1−2λ,2+λ，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
3. 如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. 14D. 24
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. e1→=2,1,e2→=23,13B. e1→=−2,6,e2→=1,−3
C. e1→=0,0,e2→=−4,3D. e1→=3,2,e2→=5,3
5. 已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，点分别为边的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形或等腰三角形
8. 一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知下列说法正确的是（ ）
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的
C. 一个棱锥至少有4个平面围成
D. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若为复数，则为实数
D. 若z+3+4i=1 ，则的最大值为6
11. 如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的取值范围
D. 的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则__________.
13. 已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.
14. 已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，其中
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围；
（2）若是纯虚数，求的模.
16. 已知两个单位向量与的夹角为，设向量m=2e1−e2,n=3e1+λe2,λ∈R .
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
17. 如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）.
（1）求该正四棱锥的表面积与体积；
（2）求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值.
18. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求周长；
（3）若为等边三角形，点为边上一点，且为边的中点，与交于点，求.
19. 已知为落实乡村振兴基础设施提质增效专项工作部署，某县农业农村局对辖区连片平坦农用地块开展集散路网科学规划，拟设置三处农产品冷链集散岗亭，三处岗亭俯视落点构成（如图），岗亭间物资转运距离均按地表直线距离统一核算.经实地测绘发现，为结合惠民工程实施要求，规划从岗亭出发，沿的角平分线修建专用中转便民通道，中转节点设置在主干连通道路上，且中转通道的长度为两处岗亭间距离的倍.
（1）若中转节点到岗亭的距离为，求两处岗亭之间主干连通道路的长度；
（2）求实数的取值范围；
（3）若规划地块的面积为1平方千米，当为何值时，岗亭间距离最短？
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：解：．
2. 已知，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
答案：C
解析：
思路：先根据向量垂直的性质列出数量积为 0 的等式，再按照数量积的坐标运算展开、化简，得到一元一次方程，最后解出参数的值即可.
解答过程：因为a=(3,1) ，b=(1−2λ,2+λ) ，且 ，
所以a→⋅b→=3,1·1−2λ,2+λ=31−2λ+12+λ=0 ，
所以3−6λ+2+λ=5−5λ=0 ，
所以.
3. 如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. 14D. 24
答案：B
解析：
解答过程：由斜二测画法得的直观图如图所示：
，，
所以.
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. e1→=0,0,e2→=−4,3D. e1→=3,2,e2→=5,3
答案：D
解析：
思路：先明确判断标准，再利用“向量共线的坐标判定公式 ”逐一分析选项即可.
解答过程：A选项：e1=(2,1) ，e2=(23,13) ，
2×13−1×23=0 ，两向量共线，不能作为基底，A错误；
B选项：e1=(−2,6) ，e2=(1,−3) ，
(−2)×(−3)−6×1=6−6=0 ，两向量共线，不能作为基底，B错误；
C选项：e1=(0,0) ，e2=(−4,3) ，
零向量与任意向量共线，不能作为基底，C错误；
D选项：e1=(3,2) ，e2=(5,3) ，
3×3−2×5=9−10=−1≠0 ，两向量不共线，可以作为基底，D正确.
5. 已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
解答过程：在中，，
由有两解，得，
即，解得，故的取值范围为.
6. 在中，点分别为边的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，
，故，
，
点分别为边的中点，
，
，故B正确．
7. 已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形或等腰三角形
答案：D
解析：
思路：使用正弦定理或余弦定理化简b−c=acsC−csB，从而判断三角形的形状.
解答过程：方法一：
由于b−c=acsC−csB，
根据正弦定理可得，sinB−sinC=sinAcsC−csB，
即,
,
化简，得,
所以，，或,而为三角形内角，
所以，,或
所以，的形状为直角三角形或等腰三角形.
方法二：
b−c=acsC−csB
根据余弦定理可得，b−c=aa2+b2−c22ab−a2+c2−b22ac
化简，得 ，
即
所以，,或
所以，的形状为直角三角形或等腰三角形.
8. 一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：圆台内体积最大的球，对应于轴截面内面积最大的圆。设圆台的轴截面为等腰梯形，把问题转化为“等腰梯形内最大圆”的问题。先由已知条件求出圆台的高和母线长，再设球心在轴上，比较球心到底面、上底和腰的距离，求出最大半径，最后计算面积比。
解答过程：设
则圆台轴截面的上、下底分别为
因为轴截面为底角是的等腰梯形，所以每条腰与下底所成角为，
上下底之差的一半为
故圆台的高为
母线长为
于是圆台的侧面积为
下面求圆台内最大球的半径，
在轴截面中建立坐标系，使下底所在直线为，对称轴为轴，
则右腰经过点，且斜率为，故其方程可写为
设最大圆的圆心为，半径为，
则圆心到底边的距离为，圆心到上底的距离为
圆心到右腰的距离为
因此
先考虑与的大小，
当时，半径随增大而增大，
当时，半径受腰限制而减小，
所以最大值在时取得，解得
即于是最大半径为
再考虑此时的最大半径与的关系，
当时，
说明最大球与下底及侧切，不与上底相切，
故球的表面积为
所求比值为
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知下列说法正确的是（ ）
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的
C. 一个棱锥至少有4个平面围成
D. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
答案：BC
解析：
解答过程：正棱台的侧面是等腰梯形，普通棱台的侧面是一般梯形，故A错误；
由圆柱母线的定义可知，所有母线都相互平行，故B正确；
三棱锥的平面数最少，有4个面，故一个棱锥至少有4个平面围成，故C正确；
以直角梯形的直角边所在直线为旋转轴的旋转体才是圆台，
若以斜边所在直线为旋转轴的旋转体不是圆台，故D错误．
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若为复数，则为实数
D. 若z+3+4i=1 ，则的最大值为6
答案：BCD
解析：
思路：根据复数的概念及运算可判断ABC，对于D，利用复数的几何意义可得复数在复平面对应的点到的距离为1，则的最大值为6．
解答过程：解：虚数单位不能比较大小，故A错误；
复数的虚部为，故B正确；
设，则，，故C正确；
z+3+4i=1 ，则复数在复平面对应的点到的距离为1，
又原点到的距离为，则点到原点距离的最大值为，
则的最大值为6，故D正确．
11. 如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的取值范围
D. 的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，根据向量数量积的定义，易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，求出最值即可判断；对于D，设中点为，由极化恒等式得，则当在点或点时，取得最大，据此计算出最值即可．
解答过程：解：对于A，根据题意，，则，故A正确；
对于B，连接交于，
由题知，则，
由对称性可知，若为中点，则，
，则，
，故B正确；
对于C，过点作直线的垂线，垂足为，
易知正八边形内角，
因此，
易知当点在线段上时，，，
取得最大值，
当点在线段上时，取得最小值，故C错误；
对于D，设中点为，
，
记，则AB2=a2+a2−2a2cs45°=2−2a2=2 ，所以a2=22−2=2+2，
所以AF2=BF2−AB2=42+2−2=6+42，
由图可知，当在点或点时，取得最大，
此时PQ2=AF2+AQ2=6+42+222=132+42，
所以的最大值为，故D正确．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则__________.
答案：
解析：
解答过程：因为，所以，解得.
13. 已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.
答案：2
解析：
解答过程：因为外接球的体积为，设外接球半径为，
可得，解得.
如图所示，正三棱锥的外接球，以及底面外接圆圆心，
可知，
在中，，
可得，
在中，可知，即622=33a2+63a−622，
化简得，因为，解得.
14. 已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________．
答案：
解析：
思路：由已知条件结合勾股定理得出的垂直关系，建立坐标系，求出相关点坐标，
进而表示向量数量积，结合正弦函数的性质求出最大值．
解答过程：
已知点均位于单位圆上，则，
，
由可得，，
以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立坐标系，
则，设点，
已知点为弦的中点，则，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，其中
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围；
（2）若是纯虚数，求的模.
答案：（1）
（2）1+mi1−i=264解析：
思路：（1）利用“第一象限”对应实部、虚部都大于；
（2）利用“纯虚数”对应实部为且虚部不为，先求出，再代入模的运算公式即可.
（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，
所以2m2−7m+6>0m−2>0，
由2m2−7m+6=2m−3m−2, 得2m−3m−2>0.
又此时
从而2m−3m−2>0 成立，故实数的取值范围为
（2）因为是纯虚数，所以且
解方程得2m−3m−2=0,
所以又因为纯虚数的虚部不能为，
故所以因此
于是1+mi1−i=1+32i1−i=1+32i1−i.
其中1+32i=12+322=1+94=132,
1−i=12+−12=2.
所以1+mi1−i=1322=1322=264.
16. 已知两个单位向量与的夹角为，设向量m=2e1−e2,n=3e1+λe2,λ∈R .
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）向量平行，利用对应基底系数成比例求解参数.
（2）利用向量夹角公式求解参数.
（1）解：因为，则基底为与，
若，则由对应基底系数成比例可得，，解得．
（2）因为单位向量与的夹角为，
则e1⃗⋅e2⃗=e1⃗⋅e2⃗⋅cs2π3=1×1×−12=−12.
而m=2e1−e22=4e12−4e1⋅e2+e22=4+2+1=7，
n=3e1+λe22=9e12+6λe1⋅e2+λ2e22=9−3λ+λ2，
则m⋅n=2e1−e2⋅3e1+λe2=6e12+2λ−3e1⋅e2−λe22=152−2λ ，
所以csm,n=csπ3=m⋅nmn=152−2λ79−3λ+λ2=12>0 ，
即15−4λ2=7λ2−3λ+9，且，
化简得，且，解得．
17. 如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）.
（1）求该正四棱锥的表面积与体积；
（2）求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值.
答案：（1），
（2），
解析：
思路：（1）根据正四棱锥的特点求表面积与体积即可；
（2）设正四棱柱底面边长为，高为，利用相似可得，再由正四棱柱侧面积S=4xy 求最值即可．
（1）如图，，
，
则该正四棱锥的表面积为=4×4+4×12×4×2112−22=16+1610，
体积；
（2）根据在棱锥中平行于底面的截面与底似，所以四边形为正方形，
设正四棱柱底面边长为，高为，
，即，
，
正四棱柱侧面积S=4xy=44−23yy=−83y2+16y=−83y−32+24 ，
则当时，正四棱柱侧面积的最大值为，此时．
18. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求周长；
（3）若为等边三角形，点为边上一点，且为边的中点，与交于点，求.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用余弦定理，建立方程组求解；
（2）由正弦定理求出，再根据正弦定理求即可得到周长；
（3）以中点为原点建立平面直角坐标系，再利用平面向量夹角的坐标表示求解．
（1）由余弦定理得，
即；
又因为，所以，
代入上式得：，即，解得，
联立a+c=12ac=36，解得；
（2）由正弦定理及已知，
得，
因为，所以，
因为，所以，即，
在中，，
由正弦定理得，C=π−A+B=5π12，
c=bsinCsinB=6sin5π1232=43sin45°+30°，
所以的周长为；
（3）由(1)知为边长为6的等边三角形，
以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则E0,0,B−3,0,C3,0,A0,33，
因为在上且，由定比分点公式得，
AE=0,−33,BD=5,3，
cs∠DFE=csAE,BD=AE⋅BDAEBD
．
19. 已知为落实乡村振兴基础设施提质增效专项工作部署，某县农业农村局对辖区连片平坦农用地块开展集散路网科学规划，拟设置三处农产品冷链集散岗亭，三处岗亭俯视落点构成（如图），岗亭间物资转运距离均按地表直线距离统一核算.经实地测绘发现，为结合惠民工程实施要求，规划从岗亭出发，沿的角平分线修建专用中转便民通道，中转节点设置在主干连通道路上，且中转通道的长度为两处岗亭间距离的倍.
（1）若中转节点到岗亭的距离为，求两处岗亭之间主干连通道路的长度；
（2）求实数的取值范围；
（3）若规划地块的面积为1平方千米，当为何值时，岗亭间距离最短？
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理及角平分线定理计算边长即可；
（2）由，再化简得即可求解；
（3）根据面积可得，再利用余弦定理可得，令，则，再化简求最值即可．
（1）解：由正弦定理及已知，
可得：，即，
因为平分，由角平分线定理可知：，
又因为，所以，
所以；
（2）设，则，，，
由，得：，
化简得：，
因为，所以：，
又，故，则，因此，
（3）已知，由，得，
由余弦定理：
代入，得：
令，则，，
代入得：，
令，则，
，
所以当，，，时，最短．