2025--2026学年福建省莆田砺志学校高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建省莆田砺志学校高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设复数，则（ ）
A. 4B. C. 2iD.
2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（ ）
A. 24B. 12C. 6D. 8
3. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. -2D. ±2
6. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A. B. C. D.
7. 给出下列四个命题：
①若平面平面，直线，直线，则；
②若直线直线，直线平面，直线平面，则；
③若平面平面，直线，则；
④若直线平面，平面平面，则．
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形
二、多选题：（每小题6分，满分18分.每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量B. 单位向量是相等向量
C. 零向量与任意向量平行D. 向量的模可以比较大小
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
11. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
三、填空题：（每小题5分，满分15分）
12. __________.
13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______.
14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量.
（1）求；
（2）求向量与的夹角的大小.
16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积．
17. 在中，内角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
（1）若，的面积为，且，求、；
（2）在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长.
数学
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设复数，则（ ）
A. 4B. C. 2iD.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以．
2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（ ）
A. 24B. 12C. 6D. 8
答案：A
解析：
思路：根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积.
解答过程：将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，
所以.
故选：A.
3. 如图，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量的线性运算可得答案.
解答过程：由，可得，
所以.
故选：D.
4. 在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，利用正弦定理，求得，然后利用锐角三角形的性质求得的值.
解答过程：因为，由正弦定理，可得，
又，所以，
又因为为锐角三角形，可得.
故选：C
5. 已知，，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. -2D. ±2
答案：C
解析：
思路：根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
解答过程：因为，
所以，解得.
故选：C
6. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积.
解答过程：设球的半径为，则，解得，
球的体积.
故选：A
7. 给出下列四个命题：
①若平面平面，直线，直线，则；
②若直线直线，直线平面，直线平面，则；
③若平面平面，直线，则；
④若直线平面，平面平面，则．
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论.
解答过程：对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点，
故直线与直线平行或异面，①错；
对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错；
对于③，若平面平面，直线，则，③对；
对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错.
故选：A.
8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形
答案：A
解析：
思路：先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状.
解答过程：在中， ,
则，即，
则，即得,
由于，故，结合，可得，
即一定为直角三角形，
二、多选题：（每小题6分，满分18分.每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量B. 单位向量是相等向量
C. 零向量与任意向量平行D. 向量的模可以比较大小
答案：ACD
解析：
思路：根据向量的定义以及单位向量，零向量的定义，即可结合选项逐一求解.
解答过程：对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，
对于C， 零向量与任意向量平行，C正确，
对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
答案：BC
解析：
思路：根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案.
解答过程：对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误；
对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确；
对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确；
对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误.
故选：BC.
11. 在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
答案：BC
解析：
思路：通过余弦定理解的个数来判断三角形解的个数，也可以通过正弦定理大边对大角来判断解的个数.
解答过程：因为，，，由余弦定理得，
所以，即，方程无解，故A错误；
因为，，，由余弦定理得，
所以，即，
所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确；
因为，，所以，又，
所以有两个解，故C正确；
因为，，，
由余弦定理得，
所以，所以有1个解，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：（每小题5分，满分15分）
12. __________.
答案：
解析：
解答过程.
13. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______.
答案：
解析：
思路：根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案.
解答过程：因为，，
所以向量在向量上投影向量为
.
故答案为.
14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.
答案：
解析：
思路：取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案.
解答过程：取的中点，连接，
因为，所以，
因为二面角为直二面角，
平面平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，，
，所以，，
因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，
则，
可得，其中，
解得，即外接球的半径为，
所以该球的体积为.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量.
（1）求；
（2）求向量与的夹角的大小.
答案：（1）
（2）解析：
（1）由向量，得.
（2）由向量，得，
又，于是，
而，所以.
16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积．
答案：（1）
（2）2
解析：
思路：（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果；
（2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果.
（1）设底面圆的直径为，则其高也为；
由题可知，圆柱的体积，解得，
因此圆柱的侧面积为；
（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，
因此边长，
所以三棱柱的体积．
17. 在中，内角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值；
（2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值.
（1）由，得，
所以由余弦定理，得，
因为中，，所以，
，所以.
（2）由和，得，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
18. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析
解析：
思路：（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明.
（2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可.
（1）取的中点，连接.
则.
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）因为，平面，不在平面内，
所以平面.
由（1）知，平面.
因为平面，
所以平面平面.
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
（1）若，的面积为，且，求、；
（2）在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，求出角，再通过三角形面积公式和余弦定理，联立方程求解、的值；
（2）先用余弦定理求出，再在中，代入已知边和的值，用余弦定理计算中线的长度.
（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，
根据正弦定理得，因为，
所以，所以，
化简得，又，所以.
又，所以.
由，，得.
由余弦定理，得.
则，所以.又，，则，.
（2）由于，所以根据余弦定理得.
在中，，所以根据余弦定理得
，
所以.