2025-2026学年福建省福州市高一上学期期末质量检测预测数学试题 [附答案]

这是一份2025-2026学年福建省福州市高一上学期期末质量检测预测数学试题 [附答案]，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题p：，，则（ ）
A．：，B．：，
C．：，D．：，
3．已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数则（ ）
A．5B．0C．-3D．-4
5．已知，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
8．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．当时，的定义域为B．当时，
C．当时，为偶函数D．当时，函数的图象恒过定点
10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（ ）．
A．B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．是奇函数
11．已知 两点位于直线 两侧， 是直线 上两点， 且 的面积是 的面积的 2 倍，若 ， 下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数
B． 在 单调递减
C． 在 有且仅有两个零点
D． 是周期函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数y＝lga（x−1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点 ．
13．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为 ．
14．牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为 ．（参考数据：）
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）
（2）.
16．已知函数.
(1)对于函数，当时，，求实数的取值范围；
(2)当时的值恒为负，求的取值范围.
17．已知函数．
(1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象；
(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标．
18．（1）若，求函数的最小值，并求取到最小值时的值；
（2）若直线过点，求的最小值，并求取到最小值时、的值．
19．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数”
(1)已知函数；
①函数G是在上的“美好函数”，求a的值；
②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值；
(2)已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值.
1．B
由指数函数解出集合，再求交集即可；
【详解】由可得，所以，
所以
故选：B.
2．D
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题p：，，则：，.
故选：D.
3．C
根据三角函数的定义求出，再根据二倍角公式计算可得.
【详解】解：因为，所以点在单位圆上，又在角的终边上，
所以，
又，所以；
故选：C.
4．B
代入求解即可.
【详解】.
故选：B.
5．D
A选项，由求出；
B选项，对因式分解，结合基本不等式进行求解，得到；
C选项，由基本不等式“1”的妙用求解得到，
D选项，变形使用基本不等式进行求解.
【详解】因为，所以，
故，当且仅当时，等号成立，A错误；
，因为，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
故，B错误；
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故，C错误；
因为，
所以
因为，所以，故，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：D
6．A
利用指数函数、对数函数、幂函数的性质即可得到答案.
【详解】由已知，，，，所以.
故选：A
7．A
【详解】因为，
所以，
则，故是等差数列，故A正确；
因为，
所以，故不是等比数列，故B不正确；
因为，
所以，故不是等差数列，故C不正确；
因为，
所以，故不是等比数列，故D不正确.
故选：A.
8．A
因为函数的周期，计算的值，根据函数是奇函数，求得，又因为，可求，所以，再根据函数图像判断的取值范围.
【详解】的周期，
，，
，
是奇函数，
关于对称，
，
解得：，
，
，
即，
，
，
，
当时，，
由图象可知若满足条件，，
解得.
故选：A
9．BCD
【详解】对于A，当时，，此时的定义域为，故A错误；
对于B，当时，，则在单调递减，
所以，故B正确；
对于C，当时，，则，为偶函数，故C正确；
对于D，当时，，则函数的图象恒过定点，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．
因为图象的一个对称中心是，所以，则．
又，所以，则，A正确．
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．
当时，，单调递减，C正确．
，是奇函数，D正确．
故选：ACD.
11．ABC
设与直线交于，利用向量共线定理可得，进而可得，然后利用函数奇偶性的定义可判断A，利用基本函数的单调性可判断B，利用数形结合可判断C，利用函数周期性的可判断D.
【详解】设与直线交于，由题可得，
又，
∴，
∴，
∴，函数的定义域为，
又，
∴函数为奇函数，故A正确；
因为函数在 上为减函数，
所以 在 上单调递减，故B正确；
由，可得，
所以函数 在 的零点数即为与的交点数，
结合函数的图象可得 在 有且仅有两个零点，故C正确；
因为，函数为周期函数，而函数不是周期函数，故不是周期函数，故D错误.
故选：ABC.
12．（2，1）
【详解】当x−1=1，即x=2时，不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.
考点：图象恒过定点
13．455
由扇环补形成两个扇形，设出扇形半径和圆心角，通过扇形相关公式列出方程组，求解即得扇环面积.
【详解】
如图，作出包含扇环的两个扇形和,依题意，的长为50cm, 的长为15cm, cm,
不妨设扇形的半径为，则扇形的半径为，设圆心角,则，解得：，
于是扇环的面积为.
故455.
14．44
将已知数据代入模型，解之可得答案．
【详解】由题知，，，，，，
，．
故44.
15.（1）1 （2）1
（1）根据对数的运算求解；
（2）根据指数幂和根式的运算求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
16．(1)；
(2).
（1）根据题意，利用定义法判断可知函数为奇函数，根据指数函数的单调性得出在为增函数，再利用单调性和奇偶性解不等式，即可求得的取值范围；
（2）由（1）可知当时，也是增函数，结合题意可知，解不等式并结合，，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：∵，可知的定义域为，
，∴为奇函数，
当时，、为增函数，，∴为增函数，
当时，、为减函数，，∴为增函数，
综上可知在为增函数，
由于当时，，
则，
∴，解得：，
所以实数的取值范围为.
（2）解：已知当时的值恒为负，
由（1）可知在为增函数，则当时，也是增函数，
则，
又，，则，
解得：或，
所以的取值范围为.
17．(1)答案见解析
(2)，
（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可；
（2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可．
【详解】（1）
（2）易知，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
令，解得，
所以对称中心的坐标为
18．（1）的最小值为2，此时；（2）的最小值为8，此时.
【详解】解：（1），，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为2，此时；
（2），，当且仅当时，即时取等号，此时，，
所以的最小值为8，此时.
19．(1)①或；② 0或1.
(2)
【详解】（1）① 因二次函数的对称轴为直线，
当时，，当时，.
（Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数，
依题意，由，解得；
（Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数，
依题意，由，解得.
综上，或；
② 当时，函数的对称轴为直线，
当时，，当时，，当时，.
(Ⅰ)若，则由，解得（舍去）；
（Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）；
（Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）；
（Ⅳ）若，则由，解得（舍去）.
综上，t的值为0或1；
（2）因二次函数的对称轴为直线，
又，则，于是，
故当时，函数为增函数，
即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，
于是，，
因为整数，且，则，即，
又因，即，解得.0
x
0
x
0
2
0
0