2025--2026学年福建厦门集美中学高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦门集美中学高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了选择题，多择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若平面平面，，则与的位置关系是（ ）
A. 与相交B. 与平行
C. 在内D. 无法判定
3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
6. 已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（ ）
A. 4B. C. 2D.
7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ）
A. B. C. D. 3：1
8. 在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 的虚部为-5
10. 向量，满足，，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 在上的投影向量的模等于D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与互为异面直线
C. 从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为
D. 当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.
13. 一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米.
14. 已知复数满足，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分）
15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
16. 四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．
（1）求证：平面．
（2）求证：F是中点．
17. 如图，已知在平行四边形中，，，，设向量是与向量垂直的单位向量．
（1）求点D的坐标；并判断平行四边形是否为矩形．
（2）求单位向量的坐标；
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
19. 如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值；
（3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
解答过程：，对应的点为，在第一象限.
2. 若平面平面，，则与的位置关系是（ ）
A. 与相交B. 与平行
C. 在内D. 无法判定
答案：B
解析：
思路：利用面面平行的性质定理即可得解.
解答过程：，，利用线面平行的性质定理可得.
故选：B
3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合图形，利用向量的线性运算即可求得.
解答过程：由图知，.
故选：C.
4. 如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由∥，得到为和BG所成角求解.
解答过程：因为∥，所以为和BG所成角，
所以在中，，
因为为锐角，所以，
所以和BG所成角的大小是，
故选：C
5. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.
解答过程：由正弦定理，，可得，
因，则，故.
故选：A.
6. 已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（ ）
A. 4B. C. 2D.
答案：B
解析：
思路：利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案.
解答过程：是方程的一个根，是方程的另一个根.
则由韦达定理得：，解得：，
故选：B
7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ）
A. B. C. D. 3：1
答案：C
解析：
思路：设它们底面圆半径为，母线长为，计算其表面积后可得比例关系.
解答过程：设它们底面圆半径为，母线长为，
记圆柱的表面积为，则，
记圆锥的表面积为，则，
所以圆柱与圆锥表面积之比.
故选：C
8. 在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
答案：C
解析：
思路：建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可.
解答过程：建立平面直角坐标系如图所示：
由题意可知，，
设，则，
由，可得，
所以，
又，
所以，
故选：C.
二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 的虚部为-5
答案：BD
解析：
思路：求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D.
解答过程：因为的共轭复数为，所以A错误；
因为，，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，
所以虚部为，所以D正确.
10. 向量，满足，，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 在上的投影向量的模等于D.
答案：BCD
解析：
思路：根据向量数量积的运算律结合题干条件即可判断选项A；由平面向量的数量积定义即可判断选项B；根据投影向量的计算公式即可判断选项C；根据向量数量积的运算律计算即可判断选项D.
解答过程：∵，，，
∴，∴，故选项A错误；
设的夹角为，
则，∴，∵，∴，故选项B正确；
∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确；
∵，∴，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与互为异面直线
C. 从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为
D. 当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形
答案：ABD
解析：
思路：根据在正方体的几何特点，逐项判断即可.
解答过程：因为在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，
所以，
因为平面，点为线段上的动点，
所以到平面的距离为2，
所以，所以A正确；
因为直线与不同在任何一个平面内，
所以直线与互为异面直线，所以B正确；
正方体的侧面展开图如下：
则点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为，所以C错误；
如图，取的中点，当为线段中点时，有，
所以平面截正方体所得截面图形为平面，又，
所以平面为梯形，所以D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.
答案：
解析：
解答过程：由棱台的体积公式得.
13. 一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米.
答案：
解析：
思路：根据给定条件，画出图形，再利用余弦定理解三角形作答.
解答过程：依题意，如图，在中，
从地出发，沿东偏南的方向到达地，再沿北偏东的方向到达地，
，则千米，千米，
由余弦定理得，因此千米,
所以两点间的距离是 千米．
故
14. 已知复数满足，则的最小值是______．
答案：4
解析：
思路：利用复数运算的几何意义求解即可.
解答过程：设，由得x−12+y2=1 ，即，
所以复数表示的点在以为圆心，1为半径的圆上，
z+2+4i=x+2+y+4i=x+22+y+42表示点与点的距离，
所以的最小值为AB−1=1−−22+0−−42−1=4 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分）
15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
答案：（1）
（2）7
解析：
思路：（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解
（1）变形为：，
所以，
因为，所以，
（2）因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
16. 四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．
（1）求证：平面．
（2）求证：F是中点．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证.
（1）由底面是平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）由（1）有平面，
又平面，平面平面，
所以，
又E是中点，
所以F是中点.
17. 如图，已知在平行四边形中，，，，设向量是与向量垂直的单位向量．
（1）求点D的坐标；并判断平行四边形是否为矩形．
（2）求单位向量的坐标；
答案：（1），平行四边形不是矩形
（2）或
解析：
思路：（1）利用平行四边形的性质结合向量相等求出点坐标，利用向量数量积与垂直的关系判断平行四边形是否为矩形；
（2）利用向量垂直数量积为0，结合单位向量的性质列方程组求解．
（1）设顶点的坐标为，，
由题意可得，则，
，解得，
点的坐标是；
又，，
，
不垂直于，
平行四边形不是矩形．
（2）设，依题意有，，，，
，
解得或，
或．
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；
（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.
（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.
（1）在中，因为，
所以，即，
因为所以，故 ，则；
（2）因为的面积为，即，
所以.
由余弦定理得.
解得, 所以周长为.
（3）由正弦定理得，即，
则，
因为为锐角三角形，则 ，故，
所以，则，
故，
故周长的取值范围为.
19. 如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值；
（3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值．
答案：（1）；
（2）4 （3）
解析：
思路：（1）根据题意，得到，得到的值，即可求解；
（2）由（1）得，根据三点共线，得到，结合基本不等式，即可求解；
（3）设，利用向量的运算法则，根据，化简得到，且，利用二次函数的性质，即可求解.
（1）因为Q为NP的中点，所以，
又因为O为MQ的中点，所以，
因为，所以，，所以．
（2）由（1）得：，
因为三点共线，所以，即，
因，
当且仅当,即，时取等号，所以的最小值为4．
（3）设，则，．
因为，所以，
，
可得，
，
所以．
由（2）知，，即，
因为，
则
，
又由，解得，当且仅当时取等号．
故当时，取得最小值，最小值为．