2025--2026学年福建同安第一中学高一下册期中质量监测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建同安第一中学高一下册期中质量监测数学试题 [含答案]，共27页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
2. 已知为单位向量，且满足，则（ ）
A. B. C. D. 3
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 在中，，，其面积为，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（）
A. B.
C. D.
6. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A. 6B. C. D.
7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A. 复数的共轭复数
B.
C. 复数的模为
D. 已知复数满足则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10. 如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时
D. 的最大值是
11. 如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
D. 若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与共线，则实数______．
13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________.

14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为__________；设，则__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，分别为角，C的对边，.
（1）求B；
（2）若，点D是AC的中点，且，求的面积.
16. 如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
17. 已知向量，，且，.
（1）求的值；
（2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．
（1）求证：．
（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．
（3）求点C到平面PBD的距离．
19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出两种符合条件的三角形的面积.
（2）如图，在平面凸四边形中.
①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值.
②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据复数对应的点得出复数，再应用复数除法计算化简求解.
解答过程：复数在复平面内对应的点为，则复数，
复数，则复数的虚部为.
2. 已知为单位向量，且满足，则（ ）
A. B. C. D. 3
答案：B
解析：
思路：利用平方的方法化简已知条件，由此求得，进而求得.
解答过程：由两边平方得，
所以.
故选：B
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：C
解析：
思路：对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断.
解答过程：对于A，若，则或异面，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误.
故选：C.
4. 在中，，，其面积为，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解.
解答过程：由题意知，，即，解得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得：
，
故选：C.
5. 已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得；
解答过程：由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，
则，所以，
则，
所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高，
所以棱柱的侧面积，
所以棱柱的表面积.
6. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A. 6B. C. D.
答案：C
解析：
思路：将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案.
解答过程：将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段，
由可得，，
由余弦定理，，
从而最短距离为.
7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由题意结合向量线性运算可得，再利用余弦定理计算求解.
解答过程：因为，
所以，
即，
依题意，与不共线，
则，可得，
所以.
8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：令利用向量得线性运算及数量积运算将表示成t的函数，再求函数值域作答.
解答过程：如图，在中，，则，，
令，则，
于是得
当时，，当或时，，
所以取值范围为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A. 复数的共轭复数
B.
C. 复数的模为
D. 已知复数满足则在复平面内对应的点的轨迹为直线
答案：BD
解析：
解答过程：选项A：化简，分子分母同乘，，共轭复数，故A错误.
选项B：根据虚数单位性质，，，，，故B正确.
选项C：复数的模，不是，故C错误.
选项D：设，，，由得，整理得，是直线方程，故对应点的轨迹为直线，D正确.
10. 如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时
D. 的最大值是
答案：ABD
解析：
思路：根据平面向量数量积的运算律及定义，求得的范围，判断A；利用数量积的定义，求出，判断B；结合图象由点的位置不唯一，并求得，判断C；利用平面向量的数量积运算律及定义求得的最大值，判断D.
解答过程：由题意可知，的半径为.
，
因为，所以，
所以，所以A正确；
，所以B正确；
当时，取的中点，记作，则三点共线，
当时，，所以；
当时，，所以.
所以C错误；
，
因为，所以，
所以的最大值是，所以D正确.
11. 如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
D. 若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为
答案：ACD
解析：
思路：根据正方体的结构特征可知侧面互相平行，可判断A；根据平面的性质及正方体的截面可判断B；根据面面平行的判定可判断点F的轨迹，进而判断C；时，先找出过A，P，Q三点的正方体的截面，进而可判断D.
解答过程：A，根据正方体的结构特征可知，平面平面，
又平面，所以 平面，故A正确；
B，因为三个不共线的点M，N，P确定一个平面，如图1：

当分别为所在棱的中点时，T，M，N，P四点共面，所以重合，
平面与正方体的截面为平面六边形 ，此时，故B错误；
C，取的中点E，上靠近的三等分点G，连接 ，如图2：

则 ，又平面，平面，则平面，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以，
又平面，平面，则平面，
由 ， 平面，所以平面 平面，
所以点F的轨迹为线段，由勾股定理可知其长度为，故C正确；
D，延长，与的延长线交于点H，
连接，与棱交于I，与的延长线交于点J，连接，与棱交于点K，如图3：

则过A，P，Q三点的正方体的截面为五边形 ，
由比例关系可得，
，
，所以较小体积与较大体积的比值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与共线，则实数______．
答案：##0.5
解析：
解答过程：由已知得，，
因为两向量共线，所以，解得．
13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________.

答案：
解析：
思路：由题目条件有，，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得外接球的半径，再根据球的体积求解即可.
解答过程：因为平面，平面，平面，
则，
又因为四边形为矩形，则，
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.

又，
则外接球的直径为长方体的体对角线，
故外接球半径为：，
则外接球的体积为.
故答案为.
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为__________；设，则__________．

答案： ①. ②.
解析：
思路：利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.
解答过程：由，设，则，，
如图

由题可知：，
在中，由余弦定理可得
所以，则，
可得小三角形面积，
大三角形面积，所以；
因为，
在中，由正弦定理可得，
且为锐角，则，可知，
可得，，
若，则
所以
故；.
方法提示：关键点点睛：对于向量运算问题，常借助于坐标系，把复杂的向量线性运算转为坐标运算，简化计算和方便理解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，分别为角，C的对边，.
（1）求B；
（2）若，点D是AC的中点，且，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理化简得，进而由辅助角公式得，根据角的范围即可求解.
（2）根据中线向量的表示形式及数量积的运算律得，将条件代入得，代入三角形面积公式求解即可.
（1）在中由正弦定理及已知条件，可得，
因为，所以，所以，所以，
所以.因为，所以.
所以，即；
（2）因为点D是AC的中点，所以，即，
故．
又，，所以.
因为，所以，即，
则，.
所以的面积为:.
16. 如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）由中位线得，再由线面平行判定证得平面.
（2）以为原点建系，用向量法求异面直线所成角：先写出各点坐标，求出向量与，再用公式计算余弦值.
（1）因为是的中点，是的中点.
所以是的中位线.
故，又平面，平面
所以平面.
（2）因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以两两垂直.
如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
因为，，，为中点，
所以，，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，，
则.
所以异面直线与所成角得余弦值为
17. 已知向量，，且，.
（1）求的值；
（2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解；
（2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域.
（1）根据向量点积公式：，
用辅助角公式化简：，即.
已知，故，则，
解得.
（2）已知，故，即 ，.
根据正弦定理，得，
代入，化简得
，
因此.
由得，故，代入得.
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．
（1）求证：．
（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．
（3）求点C到平面PBD的距离．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得；
（2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值；
（3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解.
（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以，
因为，且N为PB中点，所以，
又因为，所以平面ANMD，
又因为平面ANMD，所以．
（2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角，
又因为且，N为PB中点，所以，
所以，即，
又因为且，所以，
所以，
所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为．
（3）由已知得，，，
，
设点C到平面PBD的距离h，
则．
由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为．
19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出两种符合条件的三角形的面积.
（2）如图，在平面凸四边形中.
①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值.
②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
答案：（1）
（2）①；②存在，最小值为
解析：
思路：（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可；
（2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合三角形面积公式可求得四边形的面积的最大值；②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值．
（1）由三角形两边之和大于第三边，结合题意可得，
能构成的三角形的三边长为或.
当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为；
当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为.
因此两种符合条件的三角形的面积为和.
（2）①四边形面积.
由图可得，
所以.
所以.
所以当，时，取得最大值，最大值为.
所以的最大值为.
此时，所以，即.
因此当时，取得最大值，最大值为.
②当时,因为，所以.
如图所示，将绕点逆时针旋转，到.
则，，
所以为正三角形，所以，
所以.
当四点共线时，最小，最小值为.
中，，，
所以，
所以.
因此所在平面内存在点使得达到最小，最小值为.