2025--2026学年福建泉州第五中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建泉州第五中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，下列选项正确的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为6D. 若与垂直，则
4. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
6. 在中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表交所得到的曲线长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，是复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是纯虚数
C. D.
10. 如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ）
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B. 在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的
C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若，则下列选项可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______．
13. 已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为______．
14. 已知的内角所对的边分别为，满足．
（1）当时，的取值范围是___________．
（2）当取得最小值时，___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，，，，点E，F在BC边上且，．
（1）若，用，表示，并求线段AE的长；
（2）若，求的值．
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若，求；
（2）若是边上一点，且满足，求的面积．
17. 如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题：
（1）求圆锥中线段MN的长；
（2）求四面体ACMN的体积．
18. 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接．
（1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求；
（2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足
①求证：；
②求的最小值．
19. 我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积.
（2）如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式.
（3）若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积.
数学
（本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用复数的除法化简复数，利用已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值.
解答过程：因为，由已知可得，解得.
故选：A.
2. 化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量线性运算法则计算可得.
解答过程：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：
，故D正确；
故选：B
3. 已知向量，下列选项正确的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为6D. 若与垂直，则
答案：D
解析：
思路：运用向量平行垂直的坐标结论，结合模长公式计算判断即可.
解答过程：对于A选项，若，已知，
有，即，所以，A选项错误.
对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，.
，则.
又因为，联立方程组，解得，B选项错误.
对于C选项，先求的坐标，.
则.
展开整理得.
其最小值为.所以的最小值为，C选项错误.
对于D选项，若与垂直，则，.
因，，则.
则，D选项正确.
故选：D.
4. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
思路：以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可.
解答过程：以所在平面作为下底面还原，
则重合，重合，还原成如图正方体:
对于A，由图可得异面不平行，故A错误；
对于B，显然，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由图可得异面不平行，故D错误.
5. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：A
解析：
思路：先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解．
解答过程：在中，，，，
则，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以米.
故选：A
6. 在中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得，
又，所以，
，
，
因为（是三角形内角），所以，即，
又，所以，
由，得，
又，且，所以，则，
所以，
所以，
所以．
7. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表交所得到的曲线长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度.
解答过程：面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为,
顶点都在球内（），在球外（），
因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧,
上交点满足，得，
又（中），因此圆弧圆心角，弧长，
同理，面与对称，弧长，
是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为，
弧长：，
到面的距离，截面圆半径，截面圆心为，
弧长：，
.
8. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A. B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
解答过程：设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
方法提示：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，是复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是纯虚数
C. D.
答案：BCD
解析：
解答过程：取，满足z1−z2=1>0 ，但两个都是虚数，不能比较大小，无法得到​，故A错误；
设，若z12