福建省泉州第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省泉州第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含答案（word版），共6页。试卷主要包含了已知向量，，下列选项正确的为，如图等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ）
A.-3B.-1C.D.1
2.化简以下各式，结果不是零向量的为（ ）
A.B.
C.D.
3.已知向量，，下列选项正确的为（ ）
A.若，则B.若，则
C.的最小值为6D.若与垂直，则
4.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高AB=（ ）
A.米B.米
C.米D.米
6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则c=（ ）
A.B.C.D.2
7.已知三棱锥中，棱AS，AB，AC两两垂直，且长度都为，以S为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ）
A.B.C.D.
8.已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A.B.C.2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，是复数，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.若，则是纯虚数
C.D.
10.如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ）
A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B.在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的
C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
11.第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2；半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知圆台的高为4，上底面半径为2，下底面半径为5，则该圆台的体积为_______．
13.已知关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，，若，则实数k的值为_______．
14.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）当时，m的取值范围是_______；（2）当m取得最小值时，=_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
在中，，，，点E，F在BC边上且，．
（1）若，用，表示，并求线段AE的长；
（2）若，求的值．
16.（15分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）若，求；
（2）若D是边AC上一点，且满足，求的面积．
17.（15分）
如图1，设半圆的直径为4，点B、C三等分半圆，点M、N分别是OB、OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2），在图2中完成下列各题：
（1）求圆锥中线段MN的长；
（2）求四面体ACMN的体积．
18.（17分）
如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE为半径作半圆，B为半圆上除去直径端点的一点，连接BC，BD．
（1）若，以BD为边作正三角形BFD（点F在直线BD的上方），当四边形ABFD面积为时，求；
（2）在中，记，，的对边分别为a，b，c，的面积为S，满足，
①求证；②求的最小值．
19.（17分）
我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面α上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面α的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积．
（2）如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式．
（3）若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积．