2025--2026学年宁夏回族自治区银川一中高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年宁夏回族自治区银川一中高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 6
2. 已知复数，则z的虚部为（ ）
A. 2B. 2iC. 4D. 4i
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ）

A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线
10. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A. 当时，为纯虚数B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
11. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A.
B. 当时，为直角三角形
C. 当时，面积的最大值为1
D. 当为锐角三角形时，的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________．
13. 如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.
14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
（1）求证：；
（2）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.
17. 如图，正方体分别是的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）直线分别交平面于点，交平面于点，求证.
18. 如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，.
（1）若，.求的值；
（2）若，求的最小值；
（3）若是边长为2的等边三角形，的面积为，求实数的取值范围.
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
（1）若，求的大小及的值；
（2）已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 6
答案：A
解析：
思路：利用向量共线的坐标运算即可求解.
解答过程：因为向量， ，
所以，解得，
故选：A.
2. 已知复数，则z的虚部为（ ）
A. 2B. 2iC. 4D. 4i
答案：C
解析：
解答过程：，所以z的虚部为4．
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为向量，且向量在向量上的投影向量为，
所以，解得，
所以.
4. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可.
解答过程：因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，
所以，
所以向量对应的复数为．
5. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解.
解答过程：连接，相交于，则，
由正棱柱的性质可知平面，平面，
所以，又，平面，
则平面，且，
所以四棱锥的高为，其体积为，
解得．
6. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
解答过程：由余弦定理得，则，
故的面积为.
7. 直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据几何关系求出直三棱柱的外接球半径，最后利用外接球表面积公式即可求解.
解答过程：根据正弦定理，在中，解得.
直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理，
代入，，则.
球的表面积公式为.
8. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（ ）

A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：先用三角函数表示出，进而得出，再根据同角三角函数的商数关系及两角差的正弦公式化简即可．
解答过程：在中，，
在中，，
所以
，
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，，则
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 如果直线，则平行于经过的任何平面
D. 已知，，，则在内过点存在唯一一条与平行的直线
答案：AD
解析：
解答过程：对于A，已知直线和平面，若两个不同点，满足点，点且，，
则，故A正确；
对于B，当三条直线交于同一点时，则这些直线有可能不在同一个平面，
则不能确定一个平面，故B错误，
对于C，当直线，若过的平面也经过了直线，
则不平行于经过的平面，故C错误，
对于D，由题意可知经过点和直线确定一个平面，且此平面与有唯一的交线，而，故这条交线与直线平行，故D正确．
10. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ）
A. 当时，为纯虚数B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
答案：BC
解析：
思路：由复数的概念、共轭复数、模长公式逐项判断即可.
解答过程：对A：当时，，故A错误；
对B：当时，，故B正确；
对C：当时，，此时，故C正确；
对D：当时，，所以，故D错误
11. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A.
B. 当时，为直角三角形
C. 当时，面积的最大值为1
D. 当为锐角三角形时，的取值范围是
答案：ABD
解析：
思路：对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求解；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解．
解答过程：对于A选项，由正弦定理得，
所以，
又，故，故A正确；
对于B选项，将代入，得，
所以，
故，故B正确；
对于C选项，若，
的面积，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为，故C错误；
对于D选项，由正弦定理得，
由，得，
又为锐角三角形，，
，
，故，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________．
答案：
解析：
解答过程：由题意得.
13. 如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.
答案：##
解析：
思路：求直线方程，设点后利用坐标运算可得.
解答过程：由题意可得，，，，
设构成的一次函数为，代入，可得
，解得，
所以，
因为点在线段上，设，，
则，，
所以，
所以，即点是线段中点时，有最小值.
14. 如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．
答案：##
解析：
思路：设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.
解答过程：在中，，设，则，，
在中，，则，
由余弦定理得
，
因，则，
故当，即时，，
所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）辅助角公式结合角的范围即可求解；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解.
（1）由，
有，即，
，，
，；
（2）由（1）的结论有，
又，，
由三角形面积公式有
，，
在中，由余弦定理有
，，
的周长.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
（1）求证：；
（2）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.
答案：（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
解析：
思路：（1）在梯形中，，可得面，从而证明线面平行；
（2）取中点，连接，，证明平面，从而证明面面平行，得到结论.
（1）在梯形中，，又面，面，
面，面，面面，，
，.
（2）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，平面，平面，
平面，
取的中点，连接，则，则，且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面平面，
所以平面，，、平面，平面平面，
是上的动点，平面，平面，
当为中点时，平面.
17. 如图，正方体分别是的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）直线分别交平面于点，交平面于点，求证.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角.
（2）根据中位线以及矩形性质证明求解即可.
（1）如图：
因为，分别为，的中点，所以，
又多面体为正方体，所以，
所以.
所以即为异面直线与所成的角.
又为等边三角形，所以.
即异面直线与所成角为.
（2）如图，连接交于点，连接，则平面平面.
所以与平面的交点在上，故.
同理，连接交于点，连接交于点，则点为与平面的交点.
下面证明
如图，矩形中，分别是的中点.
所以，，所以四边形是平行四边形.
所以，，即，在中是的中点，所以是的中点.
即;
同理可得，是的中点，即.
所以
18. 如图，在中，是的中点，是线段上的动点，；过点的直线与边，分别相交于点P，Q.设，.
（1）若，.求的值；
（2）若，求的最小值；
（3）若是边长为2的等边三角形，的面积为，求实数的取值范围.
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用向量的加减运算求出即可；
（2）先利用向量的加减运算求出，根据三点共线以及基本不等式求出；
（3）由三点共线得到，再由三角形面积公式得到，再由对勾函数单调性即可求解.
（1）因为点是的中点，所以，
因为，所以，
所以，.
（2）因为，，
所以，
又O，P，Q三点共线，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，可得，时取等号.
（3），
又三点共线，所以，即；
因为是边长为2的等边三角形，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
由对勾函数单调性可知：，在单调递减，在单调递增，
又，，，
所以
所以.
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
（1）若，求的大小及的值；
（2）已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
答案：（1）
（2）①12；②
解析：
思路：（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值；
（2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解.
（1）在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.