2025--2026学年内蒙古集宁一中高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古集宁一中高一下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
7. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在平行四边形中，，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，，四点共面B. 为异面直线
C. ，，三线共点D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1；
B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实________.
13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________．
14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为．已知．
（1）若，，求的外接圆的半径；
（2）若，求的面积．
16. 设复数，其中，当取何值时，
（1）；
（2）是纯虚数；
（3）是零．
17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等.
（1）求圆柱的侧面积;
（2）求三棱柱的体积.
（3）求直三棱柱的外接球的体积.
18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；
（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；
（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．
19. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训.
（1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率；
（2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率；
（3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答）
数学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：C
解析：
解答过程：由正弦定理可得，
且，则 ,故 或 .
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先将复数化为 的标准形式，再直接求解虚部即可.
解答过程：因为.
而复数的虚部是指 中 的值，不含 ，所以这个复数的虚部为 .
3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：A
解析：
思路：求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解.
解答过程：由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，
圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为，
所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是.
故选：A
4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
答案：B
解析：
思路：根据平均数、中位数、方差以及极差的概念一一判断各选项，即得答案.
解答过程：由题意，某文化传播公司25名员工的工资情况组成25个数据，
按大小顺序排列，排在中间的数是中位数，去掉一个最大值和一个最小值，
剩余23个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；
平均数是与每一个数据都有关系的量，所以可能会发生变化；
方差也是与每一个数据都有关系的量，所以可能会变化；
极差是与最大值和最小值的差，所以去掉最高和最低的两个数据极差会变小．
故选：B．
5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可.
解答过程：因为事件是相互独立事件，所以与相互独立，
所以，
则.
故选：C.
6. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
答案：D
解析：
思路：利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可.
解答过程：因为，
所以，
又，
即，解得.
7. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.
解答过程：若存在实数，使，则共线；
若，则同向；
所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件.
8. 在平行四边形中，，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：
思路：根据线性运算及数量积的定义计算求解.
解答过程：因为，
在平行四边形中，，，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
解析：
思路：设，然后由复数运算律可得答案.
解答过程：，对于A，，则，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD
10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，，四点共面B. 为异面直线
C. ，，三线共点D.
答案：AC
解析：
思路：利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D.
解答过程：对于AB，在三棱柱中，分别为的中点，连接，
由是的中位线，得，由，且，
得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确，B错误；
对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面，
由，平面，得平面，
而平面平面，则，三线共点，C正确；
对于D，，当时，，
又，则，D错误.
故选：AC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1；
B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16.
答案：ACD
解析：
思路：利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D.
解答过程：对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，
又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确；
对于D，依题意，，则，
故数据的标准差为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实________.
答案：1
解析：
思路：根据复数为纯虚数得到方程，解出即可.
解答过程：由题意得，解得.
故1.
13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________．
答案：
解析：
思路：根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积.
解答过程：由正弦定理，解得．
所以外接圆的面积为．
故
14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________．
答案：
解析：
思路：根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案.
解答过程：解：由题意得，扇形的弧长，
所以该圆锥的底面圆的半径，
所以该圆锥的高．
设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得，所以，
所以该球的体积的最大值是．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为．已知．
（1）若，，求的外接圆的半径；
（2）若，求的面积．
答案：（1）1. （2）
解析：
思路：（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径；
（2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案.
（1）在中，由和正弦定理可得：，
再由余弦定理得：，整理得.
因为，则．因，故为直角三角形，
所以的外接圆的半径为.
（2）因为，又，所以.
由余弦定理，，可得，
又，且，代入化简，可得.解得，
则的面积为.
16. 设复数，其中，当取何值时，
（1）；
（2）是纯虚数；
（3）是零．
答案：（1）或
（2） （3）
解析：
思路：根据实数、纯虚数、零的定义构造方程组求解即可.
（1）若，则，解得：或.
（2）若是纯虚数，则，解得.
（3）若是零，则，解得.
17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等.
（1）求圆柱的侧面积;
（2）求三棱柱的体积.
（3）求直三棱柱的外接球的体积.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解.
（2）根据柱体的体积公式求解.
（3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解.
（1）设底面圆的直径为，则其高也为;
由题可知，圆柱的体积，解得，
因此圆柱的侧面积为.
（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长，
所以三棱柱的体积.
（3）设三棱柱的外接球半径为，
则，
所以三棱柱的外接球体积为.
18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；
（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；
（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．
答案：（1）
（2）300人 （3）
解析：
思路：（1）由所有频率之和为1求解；
（2）由年龄在内的频率计算求解；
（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.
（1）由题可知组距为，
则：
解得.
（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：
所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人.
（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：
.
19. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训.
（1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率；
（2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率；
（3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答）
答案：（1）样本空间见解析，
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解.
（3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解.
（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为，
从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为：
，共15种，
选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为.
（3）由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种，
记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，
则事件包含：，共种，
所以.